Terminale S - Contrôle d'entraînement DS 3-1

Calculs de dérivée-étude de fonctions-théorème des valeurs intermédiaires

Contenu

- calculs de dérivée avec les fonctions composées
- lectures graphiques et détermination de l'expression de f
- recherche des solutions d'une équation de degré 3 et théorème des valeurs intermédiaires
- dérivabilité d'une fonction en un point

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Exercice 1 (6 points)
Dans chaque cas, calculer la dérivée de $f$ définie et dérivable sur $D_f$.
Penser à contrôler avec la calculatrice.
  1. $f(x)=(2x^3+2x^2)^{5}$ sur $D_f=\mathbb{R}$.
  2. $f(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^3}$ sur $D_f=\mathbb{R}$
  3. $f(x)=\sqrt{2x^2+1}$ avec $D_f=\mathbb{R}$
  4. $f(x)=2xcos(3x)$ avec $D_f=\mathbb{R}$
Exercice 2 (4 points)
On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$ définie sur $[1;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x^2+ax+b}$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
La droite $T$ est la tangente à la courbe au point $A$ avec $A(1;1)$.

  1. Déterminer $f(1)$ et $f'(1)$ à l'aide du graphique.
  2. $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$, exprimer $f'(x)$ en fonction $a$ et $b$.
  3. En déduire les valeurs de $a$ et de $b$.
Exercice 3 (5 points)
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+2x+5$.
  1. Etudier les variations de $f$.
  2. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ et en donner un encadrement d'amplitude 0,01.
Exercice 4 (5 points)
$f$ est définie sur $[3;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x^2(x-3)}$.
  1. Etudier la dérivabilité de $f$ en $3$.
  2. Etudier les variations de $f$ sur $[3;+\infty[$.


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