Terminale ES - Contrôle d'entraînement DS7-1

Loi normale

Contenu

Identification de l'espérance par lecture graphique
Calcul de l'écart type
calculs de probabilités avec la loi normale
Calculs de probabilités et loi binomiale

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Exercice 1 (5 points)
La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$
La fonction de densité $f$ correspondante est donnée dans le repère ci-dessous.

L'aire du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=4$ et $x=16$ est d'environ 0,95 unités d'aire.
  1. Déterminer $\mu$ par lecture graphique.
    Sur le graphique, l'espérance correspond à l'abscisse du maximum
    D'après le graphique $\mu$ est l'abscisse du maximum de $f$ donc $\mu=10$

    $\mu=10$
  2. Donner alors la probabilité $p(X \leq 10)$
    $p(X\leq \mu)=p(X\geq \mu)=0,5$ rt $\mu =10$

    $p(X\leq 10)=0,5$
  3. On rappelle que si la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$, on a $p(\mu-2\sigma En déduire la valeur de $\sigma$
    D'après le graphique $p(4\leq X \leq 16)\approx 0,95$
    donc $\mu-2\sigma =4$ soit $10-2\sigma =4$
    $10-2\sigma =4 \Longleftrightarrow -2\sigma= -6 \Longleftrightarrow \sigma=3$

    $\sigma=3$
  4. Avec la calculatrice, déterminer alors $K$, arrondi aux dixièmes, tel que $p(X \geq K)= 0,6$
    Utiliser MENU DIST puis NORM puis Ncd avec $\mu=10$ et $\sigma=3$
    Avec la calculatrice, utiliser MENU DIST puis NORM puis InvN avec $\mu=10$ et $\sigma=3$.
    Voir fiche méthode chapitre 7: loi normale et calculatrice (CASIO ou TI)


    $K\approx 9,2$

    Remarque
    Penser à contrôler le calcul avec Ncd

Exercice 2 (15 points)
} Une entreprise fabrique des pièces de tissu.
Les pièces de tissu produites doivent respecter des contraintes de qualité et doivent avoir une masse au mètre carré comprise entre 1,45kg et 1,55 kg.
Si ce n'est pas le cas, ces pièces de tissu présentent un défaut de fabrication.
Les résultats seront arrondis aux millièmes.
  1. On notera $M_1$ la machine fabricant ces pièces de tissu.
    On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce de tissu prise au hasard dans la production, associe sa masse au mètre carré exprimée en kg.
    $X$ suit la loi normale d'espérance 1,5 et d'écart type 0,03.
    1. Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la production respecte la contrainte de fabrication.
      Utiliser la fonction $Ncd$ avec $\mu=1,5$ et $\sigma=0,03$
      On veut $1,45\leq X\leq 1,55$

      $p(1,45\leq X \leq 1,55)\approx 0,904$

      La probabilité que la pièce soit conforme respecte la contrainte de fabrication est environ de 0,904
    2. Un grossiste vendant des pièces de tissus avec un léger défaut de fabrication achète à cet entreprise les pièces de tissu ayant un défaut mais dont la masse au mètre carré est comprise entre 1,3kg et 1,6kg.
      Si la production de la journée est de 1000 pièces de tissu, quelle quantité de pièces de tissu ce grossiste pourra-t-il acheter à l'entreprise?
      $1,3\leq X\leq 1,45$ ou bien $1,55 \leq X\leq 1,6$
      On veut $1,3\leq X\leq 1,45$ ou bien $1,55 \leq X\leq 1,6$

      $p(1,3\leq X \leq 1,45)\approx 0,048$

      et $p(1,55\leq X \leq 1,6)\approx 0,047$
      $p(1,3\leq X\leq 1,45)+p(1,55 \leq X\leq 1,6)\approx 0,048+0,047=0,095$
      $0,095\times 1000 =95$

      Le grossiste pourra acheter 95 pièces de tissu.
  2. Pour diversifier sa production, l'entreprise investi dans un seconde machine permettant de couper les pièces de tissu en carrés de 2 mètres de côté.
    On notera cette machine $M_2$.
    On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce de tissu prise au hasard dans la production associe la mesure, en mètres, du côté des carrés découpés.
    $Y$ suit la loi normale normale d'espérance 2 et d'écart type 0,02.
    On considère que les pièces découpées sont conformes si la mesure du côté de ces pièces de tissu mesure entre 1,95m et 2,03m.
    Calculer la probabilité que la pièce de tissu produite par la machine $M_2$ soit conforme.
    $1,95 \leq Y\leq 2,03$
    On veut $1,95 \leq Y\leq 2,03$

    $p(1,95 \leq Y\leq 2,03)\approx 0,927$

    La probabilité que la pièce soit conforme est environ de de 0,927
  3. On considère les événements suivants:
    -A: " la pièce de tissu fabriquée par la machine $M_1$ a une masse au mètre carré comprise entre 1,45kg et 1,55 kg"
    -B: " la pièce de tissu fabriquée par la machine $M_2$ est un carré dont le côté mesure entre 1,95m et 2,03m"
    Les deux machines fonctionnent de manière totalement indépendante.
    On prend une pièce au hasard dans la production (après passage dans la machine $M_1$ puis coupée dans la machine $M_2$).
    Montrer que la probabilité que la pièce de tissu carrée ne présente aucun des deux défauts est alors de 0,838.
    On veut calculer $p(M_1 \cap M_2)$
    On peut utiliser un arbre
    Les deux machines fonctionnent de manière indépendantes donc les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
    On a donc $p_A(B)=p(B)$.
    On peut dresser l'arbre de probabilités suivant:

    La probabilité que la pièce de tissu ne présente aucun défaut se note $p(A\cap B)$.
    $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=p(A)\times p(B)=0,904\times 0,927\approx 0,838$

    La probabilité que la pièce de tissu ne présente aucun défaut est environ 0,838
  4. Montrer que la probabilité que la pièce présente un seul des deux défauts possibles (soit un défaut de poids, soit un défaut sur les dimensions) est 0,155.
    On veut $\overline {A} \cap B$ ou bien $A \cap \overline {B}$
    $p(\overline {A} \cap B)+p(A \cap \overline {B})=0,904\times 0,073+0,096\times 0,927\approx 0,155$

    La probabilité que la pièce présente un seul des deux défauts est environ 0,155
  5. La machine produit 1000 pièces de tissu de 2 mètres de côté par jour.
    On note $Z$ la variable aléatoire donnant le nombre de pièces de tissu carrées n'ayant aucun défaut parmi ces 1000 pièces.
    Montrer que $Z$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
    Identifier l'épreuve de Bernouilli répétée
    - On considère l'expérience aléatoire consistant à prendre une pièce au hasard dans la production de la journée ayant les issues possibles $S$: "la pièce n'a pas de défaut" et $E$: "la pièce a au moins un défaut" avec $p(S)\approx 0,838$
    - On répète successivement 1000 fois et de manière indépendante cette épreuve de Bernouilli.
    - La variable aléatoire donnant le nombre de pièces sans défaut(nombre de succès $S$) parmi les 1000 suit donc une loi binomiale de paramètres $n=1000$ et $p=0,838$
    \res {$Z$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(1000;0,838)$
  6. Déterminer la probabilité qu'au moins 85% des pièces produites ne présentent aucun défaut.
    On veut calculer $p(Z \geq 850)$
    $85$ % de la production donne $\dfrac{85}{100}\times 1000=850$
    On veut calculer $p(Z \geq 850)=1-p(Z< 850)=1-p(Z\leq 849)$
    Avec la calculatrice, on a (MENU STAT puis DIST puis BNM ):

    donc $p(Z \geq 850)\approx 1-0,838$ soit $p(Z \geq 850)\approx 0,162$

    La probabilité qu'au moins 85% des pièces produites ne présentent aucun défaut est de 0,162 environ
  7. L'entreprise vend les pièces de tissu n'ayant aucun défaut au prix de $x$ euros et celles qui ont un seul défaut (soit de poids, soit de dimension) au prix de 10 euros et les autres pièces sont vendues au prix de 5 euros.
    On note $P$ la variable aléatoire correspondant au prix de vente de chaque pièce de tissu.
    1. Compléter le tableau de la loi de probabilité de $P$ ci-dessous:
      Identifier les différents cas donnant les valeurs de $P$
      .
    2. Rappel: l'entreprise produit chaque jour 1000 pièces de tissu carrées.
      Exprimer l'espérance de la variable aléatoire $P$ en fonction du prix de vente $x$ et déterminer la valeur minimale de $x$, arrondie à l'euro près, pour que l'entreprise réalise un chiffre d'affaire journalier d'au moins 25000 euros.
      Ilfaut calculer l'espérance de $P$
      On veut $E(P)\geq 25 000$
      $E(P)=0,838x+0,155\times 10+0,007\times 5=0,838x+1,585$
      On produit 1000 pièces par jour donc le chiffre d'affaire sera en moyenne de $1000(0,838x+1,585)$ euros sur un grand nombre de jours.
      On veut $1000(0,838x+1,585) \geq 25000$.
      $1000(0,838x+1,585) \geq 25000$
      $ \Longleftrightarrow 0,838x+1,585 \geq 25$
      $ \Longleftrightarrow 0,838x \geq 23,415$
      $ \Longleftrightarrow x \geq \dfrac{23,415}{0,838}$
      or $\dfrac{23,415}{0,838}\approx 27,9415$
      donc il faut arrondir par excès, le prix de vente de chaque pièce sans défaut devra être de 28 euros au minimum en arrondissant à l'euro près.

      $x\geq 28$ à un euro près.

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