Contrôle d'entraînement DS7-1

Probabilités et variable aléatoire

Contenu

- loi de probabilité d'une variable aléatoire
- calcul de probabilités et notations des événements A et B et A ou B
- calcul de l'espérance et interprétation
- variation de l'espérance en appliquant un pourcentage
- Exercice BAC ES 209 adapté: tableau à double entrée, loi de probabilité et espérance

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Exercice 1 (9 points)
On a effectué une étude sur les ventes dans un grand magasin vendant des lots de 4 chaises et des tables.
Chaque client achète au maximum un lot de 4 chaises et la table.
On notera les événements:
"T": le client a acheté une table.
"C": Le client a acheté un lot de 4 chaises.
On a ainsi obtenu les résultats suivants:
  1. Que signifie la notation $T\cap \overline{C}$?
    $\overline{C}$ signifie que le client n'achète pas le lot de chaises.

    donc $T\cap \overline{C}$ signifie que le client achète une table mais pas le lot de chaises.
  2. Calculer $p$.
    La somme des probabilités du tableau doit être égale à 1.
    $p(\overline{T}\cap \overline{C})+p(T\cap \overline{C})+p(\overline{T}\cap C)+p(T\cap C)=1$
    donc $p=1-0,2+0,3+0,35=1-0,85=0,15$

    $p=p(C\cap T)=0,15$
  3. Que signifie la notation $C\cup T$?
    Calculer $p(C\cup T)$.
    On veut aussi calculer la probabilité que le client achète soit le lot de chaises, soit la table, soit le lot de chaises et la table.
    $C\cup T$ signifie que le client achète le lot de chaises ou bien la table.
    $C\cup T$ est donc le contraire de l'événement $\overline{T}\cap \overline{C}$.
    Deux calculs sont donc possibles:
    $p(C\cup T)=p(T\cap \overline{C})+p(\overline{T}\cap C)+p(T\cap C)=0,3+0,35+0,15=0,8$
    ou bien $p(C\cup T)=1-p(\overline{T}\cap \overline{C})=1-0,2=0,8$

    La probabilité que le client achète une table ou bien le lot de chaises est $p(C\cup T)=0,8$.
  4. Le lot de 4 chaises est vendu 220 euros et la table 170 euros.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant la dépense d'un client entrant dans le magasin.
    Compléter le tableau de la loi de probabilité de $X$.
    Identifier les différentes valeurs prises par $X$ selon les achats des clients.

  • Le magasin est ouvert exceptionnellement un dimanche de décembre et la fréquentation augmente alors de 20% car le magasin a affiché une remise de 15% sur l'ensemble de ses articles.
    Quelle recette peut espérer faire le magasin avec l'ouverture de ce dimanche?
    Rappel de cours
    Afficher/masquer l'aide
    Il faut calculer le nombre de clients de ce dimanche et la dépense moyenne par client.
    Afficher/masquer la solution
    Le nombre de clients augmente de 20% donc est multiplié par $1+\dfrac{20}{100}=1,2$.
    Il y aura donc $140\times 1,2 =168$ clients.
    La dépense moyenne par client diminue de 15% avec la remise et est donc multipliée
    par $1-\dfrac{15}{100}=0,85$.
    On a donc une dépense moyenne de $E(X)\times 0,85=186,5\times 0,85=158,525$ euros par client.
    On a donc pour 168 clients: $158,525\times 168=26632,20$.

    Le magasin peut espérer une recette moyenne de 26632,2 euros.
  • Exercice 2 (11 points)
    D'après BAC ES Nouvelle-Calédonie 2009.
    Un club de natation propose à ses adhérents trois types d'activité : la compétition, le loisir ou l'aquagym. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu'une seule des trois activités.
    30% des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, 20% des adhérents au club pratiquent l'aquagym et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition.
    Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents. 20% des adhérents de la la section loisir et un quart des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre. 30% des adhérents de la section compétition ne participent pas à cette rencontre.
    On interroge au hasard une personne adhérente à ce club. On considère les évènements suivants :
    - A: " La personne interrogée pratique l'aquagym"
    - C: " La personne interrogée pratique la natation en compétition"
    - L: " La personne interrogée pratique la natation en loisir "
    - R: " La personne interrogée participe à la rencontre " et $\overline{\text{R}}$ son événement contraire.
    1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous correspondant aux différentes situations possibles pour un total de 100 adhérents.
      Compléter d'abord la dernière ligne (total) du tableau avec les données de l'énoncé.
      30% des adhérents au club pratiquent la natation en loisir donc $p(L)=\dfrac{30}{100}$
      et 20% des adhérents au club pratiquent l'aquagym donc $p(A)=\dfrac{20}{100}$
      et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition soit $p(C)=1-p(A)-p(L)=\dfrac{50}{100}$
    2. Calculer la probabilité que la personne interrogée pratique la natation en compétition et qu'elle participe à la rencontre.
      On veut calculer $p(C\cap R)$
      Il y a 35 adhérents pratiquant la natation en compétition qui participent à la rencontre sur 100

      La probabilité qu'elle pratique la natation en compétition et participe à la rencontre est $p(C\cap R)=\dfrac{35}{100}=0,35$.
    3. On interroge une personne au hasard lors de la rencontre. Calculer la probabilité qu'elle soit dans la section compétition.
      Donner une valeur approchée du résultat arrondie à $10^{-2}$ près.
      On choisit une personne au hasard parmi les 46 participant à la rencontre.
      35 adhérents pratiquent la compétition parmi les 46 participants à la rencontre
      donc la probabilité demandée est $\dfrac{35}{46}\approx 0,76$

      La probabilité qu'elle soit dans la section compétition sachant qu'elle participe à la rencontre est 0,76 environ.

      Remarque
      Cette probabilité est une probabilité conditionnelle (programme de terminale) et se note $p_R(C)\approx 0,76$.
    4. Les tarifs du club pour l'année sont les suivants : l'adhésion à la section compétition est de 100 euros et l'adhésion à la section loisir ou à l'aquagym est de 60 euros. De plus, une somme de 15 euros est demandée aux adhérents qui participent à la rencontre.
      On appelle $S$ la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle à la rencontre).
      Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $S$.
      Il faut calculer la dépense de l'adhérent dans chaque cas.

      Penser à vérifier que la somme des probabilités est 1.
    5. Calculer l'espérance mathématique de $S$ et interpréter ce nombre.


    
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