Exercice 1 (3 points)
Calculer $A=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}$ Donner alors le plus petit ensemble de nombres auquel appartient $A$.

Nombre décimal


Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a$ entier et $n$ entier naturel.
Par exemple, $2,35=\dfrac{235}{100}=\dfrac{235}{10^2}$
Il faut d'abord calculer $1-\dfrac{1}{3}$
$A=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3} }$
$~~~~~=\dfrac{1}{\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3} }$
$~~~~~=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3} }$
$~~~~~=1\times \dfrac{3}{2}$
$~~~~~=\dfrac{3}{2}$
Exercice 2 (3 points)
Écrire sous la forme $a^n$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{Z}$
$2^5\times 4^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{3^3\times 9^4}{3^5}$

Calculs avec les puissances


$a$ et $b$ sont deux nombres réels et $n$ et $p$ deux entiers relatifs.
- Produit
$a^na^p=a^{n+p}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^3\times 2^5=2^{3+5}=2^8$
- Quotient
$\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ ($a\neq 0)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{2^3}{2^5}=2^{3-5}=2^{-2}$
- Inverse
$\dfrac{1}{a^p}=a^{-p}$ ($a\neq 0)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{1}{2^5}=2^{-5}$
- Exposants
$\left(a^n\right)^p=a^{np}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left(2^3\right)^5=2^{3\times 5}=2^{15}$
On peut remplacer $4$ par$2^2$ et $9$ par $3^2$
$2^5\times 4^3=2^5\times (2^2)^3$
$\phantom{2^5\times 4^3}=2^5\times 2^{2\times 3}$
$\phantom{2^5\times 4^3}=2^5\times 2^6$
$\phantom{2^5\times 4^3}=2^{5+6}$
$\phantom{2^5\times 4^3}=2^{11}$

$\dfrac{3^3\times 9^4}{3^5}=\dfrac{3^3\times (3^2)^4}{3^5}$
$\phantom{\dfrac{3^3\times 9^4}{3^5}}=\dfrac{3^3\times 3^{2\times 4}}{3^5}$
$\phantom{\dfrac{3^3\times 9^4}{3^5}}=\dfrac{3^3\times 3^8}{3^5}$
$\phantom{\dfrac{3^3\times 9^4}{3^5}}=\dfrac{3^{3+8}}{3^5}$
$\phantom{\dfrac{3^3\times 9^4}{3^5}}=\dfrac{3^{11}}{3^5}$
$\phantom{\dfrac{3^3\times 9^4}{3^5}}=3^{11-5}$
$\phantom{\dfrac{3^3\times 9^4}{3^5}}=3^{6}$
Exercice 3 (3 points)
On donne $A=\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}$.
  1. Écrire $A$ sous la forme $A=a+b\sqrt{3}$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs.

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    Il faut multiplier par l'expression conjuguée de $\sqrt{3}-1$ pour faire apparaître la troisième identité remarquable
    $A=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$
    $~~~~~=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}^2-1^2}$
    $~~~~~=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}$
    $~~~~~=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{2}$
    $~~~~~=\sqrt{3}+1)$ (simplification par $2$)
  2. Écrire $|A|$ sans valeur absolue.

    Valeur absolue


    Soit $x$ un nombre réel, la valeur absolue de $x$ notée $|x|$ est:
    $|x|=x$ si $x\geq 0$
    $|x|=-x$ si $x < 0$
    $A=\sqrt{3}+1$ donc $A>0$ (somme de deux nombres positifs)
  3. $A-2\sqrt{3}$ appartient-il à $\mathbb{N}$?
    $\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels
Exercice 4 (2 points)
$a$ et $b$ sont deux nombres entiers non nuls, montrer que si $a$ et $b$ sont divisibles par $q$ entier naturel non nul alors$a+b$ est divisible par $q$.

Multiple


Un nombre entier naturel $a$ est un multiple de $b \in \mathbb{N}^*$ ($b$ entier naturel non nul)si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$
On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$
On peut écrire$a=nq$ et $b=mq$ avec $n$ et $m$ entiers
$a$ est divisible par $q$(ou est un multiple de $q$) donc il existe un entier $n$ non nul tel que $a=nq$
$b$ est divisible par $q$(ou est un multiple de $q$) donc il existe un entier $m$ non nul tel que $a=mq$
$a+b=nq+mq=q(n+m)=q\times K$ avec $K=n+m$ entier
Exercice 5 (3 points)
Résoudre $|x-\sqrt{2}|=3$ puis $|x+1|<5$
rédiger soigneusement la réponse

Équation de la forme $|x-a|=r$


Si on pose $A$ d'abscisse $a$ et $M$ d'abscisse $x$ alors $AM=|x-a|=r$ avec $r > 0$.

Les solutions de $|x-a|=r$ ($r >0$) sont donc $x=a-r$ et $x=a+r$.
Attention, si on a $|x+2|$ alors le point $A$ a pour abscisse $-2$.
En effet, $d(AM)=|x-(-2)|=|x+2|$
Pour l'inéquation, on peut utiliser les points $A$ et $M$ d'abscisses respectives $-1$ et $x$
$|x-\sqrt{2}|=3$
$\Longleftrightarrow x-\sqrt{2}=3$ ou $x-\sqrt{2}=-3$
$\Longleftrightarrow x=3+\sqrt{2}$ ou $x=-3+\sqrt{2}$

$|x+1|<5 \Longleftrightarrow -5 < x+1 < 5$
$\phantom{|x+1|<5} \Longleftrightarrow -5-1 < x < 5-1$
$\phantom{|x+1|<5} \Longleftrightarrow -6 < x < 4$


Avec un axe gradué, $A$ a pour abscisse $-1$ et $M$ a pour abscisse $x$ et on a $AM=|x_M-x_A|==|x-(-1)|=|x+1|$
On veut donc $AM < 5$ (voir schéma)
Exercice 6 (4 points)
  1. Donner la définition d'un nombre premier puis donner la liste des cinq premiers nombres premiers.
    Un nombre premier est un entier qui n'admet que deux diviseurs $1$ et lui-même
  2. Décomposer $252$ puis $392$ en produit de facteurs premiers.
    Décomposition
    \includegraphics[scale=0.8]{fig1}
  3. En déduire l'écriture de $\dfrac{252}{392}$ sous forme irréductible.
    Il faut utiliser les deux décompositions
    $\dfrac{252}{392}=\dfrac{2^2\times 3^2\times 7}{2^3\times 7^2}$
    $~~~~~~~~~=2^{2-3}\times 3^2\times 7^{1-2}$
    $~~~~~~~~~=2^{-1}\times 3^2\times 7^{-1}$
    $~~~~~~~~~=\dfrac{ 3^2}{2\times 7}$
    $~~~~~~~~~=\dfrac{ 9}{14}$
  4. Déterminer le plus grand diviseur commun à $252$ et $392$
    Il faut déterminer les facteurs communs aux deux décompositions
    $252=(2^2\times 7)\times 3^2=28\times 3^2$
    et $392=(2^2\times 7)\times 2\times 7=28\times 14$
    Autrement dit, les facteurs premiers communs aux deux décompositions sont $2^2$ et $7$
Exercice 7 (2 points)
Problème ouvert, toute trace de recherche, même infructueuse, sera valorisée dans la notation.
Deux véhicules s'élance sur un circuit automobile. Le véhicule A fait un tour en 210 secondes et le véhicule B fait un tour en 180s.
Au bout de combien de temps vont-ils se retrouver en même temps sur la ligne de départ?
Il faut decomposer les deux temps en produit de facteurs premiers
Il faut trouver un multiple commun à 210 et 180 le plus petit possible

$210=2\times 3\times 5\times 7$
$180=2^2\times 3^2 \times 5$
On recherche le plus petit multiple commun à ces deux nombres
donc il faut compléter pour que les deux décompositions soient identiques:
$210\times 2\times 3=2^2\times 3^2\times 5\times 7$
et
$180\times 7=2^2\times 3^2\times 5 \times 7$
On a donc $210\times 2\times 3=210\times 6=1260$
et $180\times 7=1260$


A aura fait 6 tours et $B$ 7 tours.