MATHS-LYCEE
Exercice 1 (5 points)
Résoudre les équations ci-dessous dans $\mathbb{R}$:
- $(x-1)(x+2)-(x-1)(2x+3)=0$
Produit de facteurs nul
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
$a \times b=0 \Longleftrightarrow a=0$ ou $b=0$
Il faut factoriser le membre de gauche$(x-1)(x+2)-(x-1)(2x+3)=0 \Longleftrightarrow (x-1)\left[ (x+2)-(2x+3)\right] =0$
$\phantom{(x-1)(x+2)-(x-1)(2x+3)=0} \Longleftrightarrow (x-1)(x+2-2x-3)=0$
$\phantom{(x-1)(x+2)-(x-1)(2x+3)=0} \Longleftrightarrow (x-1)(-x-1)=0$
$\phantom{(x-1)(x+2)-(x-1)(2x+3)=0} \Longleftrightarrow x-1=0$ ou $-x-1=0$
$\phantom{(x-1)(x+2)-(x-1)(2x+3)=0} \Longleftrightarrow x=1$ ou $x=-1$
- $(2x+1)^2=(x+2)(4x+3)$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Ici, on ne peut factoriser (pas de facteur commun) donc on peut développer et simplifier, les termes en $x^2$ "s'éliminent"$(2x+1)^2=(x+2)(4x+3) \Longleftrightarrow (2x+1)^2-(x+2)(4x+3)=0$ (on ne peut avoir de facteur commun)
$\phantom{(2x+1)^2=(x+2)(4x+3)} \Longleftrightarrow 4x^2+4x+1-(4x^2+8x+3x+6)=0$
$\phantom{(2x+1)^2=(x+2)(4x+3)} \Longleftrightarrow 4x^2+4x+1-4x^2-8x-3x-6=0$
$\phantom{(2x+1)^2=(x+2)(4x+3)} \Longleftrightarrow -7x-5=0$
$\phantom{(2x+1)^2=(x+2)(4x+3)} \Longleftrightarrow -7x=5$
$\phantom{(2x+1)^2=(x+2)(4x+3)} \Longleftrightarrow x=\dfrac{-5}{7}$
- $\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{-2}{x}$
Quotients égaux
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Longleftrightarrow ac=bd$ (avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$)Penser à chercher d'abord les valeurs interdites pour donner l'ensemble des valeurs de $x$ possibles
Les produits en croix doivent être égauxLes dénominateurs doivent être non nuls.
$x-2=0 \Longleftrightarrow x=2$
donc il faut $x\neq 2$ et $x\neq 0$
On résout donc cette équation sur $D_f=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 0;2 \right\rbrace $.
Pour tout réel $x\in D_f$, on a:
$\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{-2}{x}\Longleftrightarrow 3x=-2(x-2)$
$\phantom{\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{-2}{x}} \Longleftrightarrow 3x=-2x+4$
$\phantom{\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{-2}{x}} \Longleftrightarrow 5x=4$
$\phantom{\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{-2}{x}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{5}$
On a bien $\dfrac{4}{5} \in D_f$
Exercice 2 (5 points)
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+7$
- Résoudre l'équation $f(x)=7$
On peut passer tous les termes dans le membre de gauche et factoriser$f(x)=7\Longleftrightarrow x^2-4x+7=7$
$\phantom{f(x)=7} \Longleftrightarrow x^2-4x+7-7=0$
$\phantom{f(x)=7} \Longleftrightarrow x^2-4x=0$
$\phantom{f(x)=7} \Longleftrightarrow x(x-4)=0$
$\phantom{f(x)=7} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x-4=0$
$\phantom{f(x)=7} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=4$
On a cherché les antécédents de 7 par $f$ - Résoudre l'équation $f(x)=3$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On peut passer tous les termes dans le membre de gauche et factoriser$f(x)=3\Longleftrightarrow x^2-4x+7=3$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow x^2-4x+7-3=0$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow x^2-4x+4=0$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow (x-2)^2=0$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow x-2=0$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow x=2$
- On donne ci-dessous la représentation graphique de $C_f$.
Contrôler graphiquement les résultats de chacune des questions. (on fera apparaître les tracés permettant de contrôler ces résultats.Images (tracés en verts) et les solutions de chacune des équations tracés en gris.
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