Exercice 1 (7 points)
  1. $-3$ est-il une solution de l'équation $x^3-3x^2+2x+5=0$?

    Solution d'une équation


    $\alpha$ est une solution d'une équation si l'égalité est vérifiée quand on remplace l'inconnue par la valeur de $\alpha$.
    Par exemple $-2$ est une solution de l'équation $3x^2+4x-4=0$.
    En effet, en remplaçant $x$ par la valeur $-2$, on a: $3\times (-2)^2+4\times (-2)-4=12-8-4=0$
    Il faut vérifier que l'égalité est vraie en remplaçant $x$ par $-3$
    $(-3)^3-3\times (-3)^2+2\times (-3)+5=-27-27-6+5=-55\neq 0$

  2. Résoudre les équations suivantes:
    1. $\dfrac{2}{3}x-4=\dfrac{3}{4}(x+1)$.
      On peut commencer par réduire au même dénominateur pour se débarrasser des fractions
      $\dfrac{2}{3}x-4=\dfrac{3}{4}(x+1)\Longleftrightarrow \dfrac{2}{3}x-4=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{4}$
      $ \phantom{\dfrac{2}{3}x-4=\dfrac{3}{4}(x+1)} \Longleftrightarrow \dfrac{8}{12}x-\dfrac{48}{12}=\dfrac{9}{12}x+\dfrac{9}{12}$
      $ \phantom{\dfrac{2}{3}x-4=\dfrac{3}{4}(x+1)}\Longleftrightarrow 8x-48=9x+9$
      $ \phantom{\dfrac{2}{3}x-4=\dfrac{3}{4}(x+1)}\Longleftrightarrow -x=57$
      $ \phantom{\dfrac{2}{3}x-4=\dfrac{3}{4}(x+1)}\Longleftrightarrow x=-57$

    2. $(4x+3)(3x-2)=(7-3x)(4x+3)$

      Produit de facteurs nul


      Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
      $a \times b=0 \Longleftrightarrow a=0$ ou $b=0$
      Il faut passer tous les termes dans le membre de gauche puir factoriser
      $\phantom{\Longleftrightarrow}(4x+3)(3x-2)=(7-3x)(4x+3)$
      $\Longleftrightarrow (4x+3)(3x-2)-(7-3x)(4x+3)=0$
      $\Longleftrightarrow (4x+3)\left[ (3x-2)-(7-3x)\right] =0$
      $\Longleftrightarrow (4x+3)\left[ 3x-2-7+3x\right] =0$
      $\Longleftrightarrow (4x+3)\left[ 6x-9 \right] =0$
      $\Longleftrightarrow 4x+3=0$ ou $6x-9=0$
      $\Longleftrightarrow x=\dfrac{-3}{4}$ ou $x=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$
    3. $(x-2)^2=6$
      $(x-2)^2=6 \Longleftrightarrow (x-2)^2-6=0$
      $\phantom{(x-2)^2=6} \Longleftrightarrow (x-2)^2-\sqrt{6}^2=0$
      $\phantom{(x-2)^2=6} \Longleftrightarrow (x-2-\sqrt{6})(x-2+\sqrt{6})=0$
      $\phantom{(x-2)^2=6} \Longleftrightarrow x-2-\sqrt{6}=0$ ou $x-2+\sqrt{6}=0$
      $\phantom{(x-2)^2=6} \Longleftrightarrow x=2+\sqrt{6}$ ou $x=2-\sqrt{6}$
    4. $4x^2-9=(2x+3)(x+2)$

      Identités remarquables


      $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
      $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
      $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
      On peut faire apparaître un facteur commun en utilisant la troisième identité remarquable pour factoriser $4x^2-9$
      On résout sur $\mathbb{R}$:
      $4x^2-9=(2x+3)(x+2) \Longleftrightarrow 4x^2-9-(2x+3)(x+2)=0$
      $\phantom{4x^2-9=(2x+3)(x+2)}\Longleftrightarrow (2x-3)(2x+3)-(2x+3)(x+2)=0$
      $\phantom{4x^2-9=(2x+3)(x+2)}\Longleftrightarrow (2x+3)\left[ (2x-3)-(x+2)\right] =0$
      $\phantom{4x^2-9=(2x+3)(x+2)}\Longleftrightarrow (2x+3)\left[ x-5\right] =0$
      $\phantom{4x^2-9=(2x+3)(x+2)}\Longleftrightarrow 2x+3=0$ ou $x-5=0$
      $\phantom{4x^2-9=(2x+3)(x+2)}\Longleftrightarrow x=\dfrac{-3}{2}$ ou $x=5$
    5. $x^3+2x-3(x^2+2)=0$
      On peut mettre un facteur commun en évidence en factorisant d'abord $x^3+2x$
      $x^3+2x-3(x^2+2)=0 \Longleftrightarrow x(x^2+2)-3(x^2+2)=0$
      $\phantom{x^3+2x-3(x^2+2)=0} \Longleftrightarrow (x^2+2)(x-3)=0$
      $\phantom{x^3+2x-3(x^2+2)=0}\Longleftrightarrow x^2+2=0$ ou $x-3=0$
      $\phantom{x^3+2x-3(x^2+2)=0}\Longleftrightarrow x^2=-2$ ou $x=3$
      $x^2=-2$ n'admet aucune solution car $x^2\geq 0$
    6. $\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{3}{x}$

      Quotients égaux


      $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Longleftrightarrow ac=bd$ (avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$)
      Chercher d'abord les valeurs interdites
      On peut ensuite utiliser les produits en croix égaux
      Il faut $x+2\neq 0$ soit $x\neq -2$ et $x\neq 0$
      On résout sur $D_f=\mathbb{R}\smallsetminus \left\lbrace-2;0 \right\rbrace $:
      $\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{3}{x} \Longleftrightarrow (x+3)x=3(x+2)$
      $\phantom{\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{3}{x}} \Longleftrightarrow x^2+3x=3x+6$
      $\phantom{\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{3}{x}}\Longleftrightarrow x^2-6=0$
      $\phantom{\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{3}{x}}\Longleftrightarrow x^2=6$
      $\phantom{\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{3}{x}} \Longleftrightarrow x=\sqrt{6}$ ou $x=-\sqrt{6}$
      or $\sqrt{6}\in D_f$ et $-\sqrt{6}\in D_f$
Exercice 2 (3 points)
On considère l'équation $(E)$: $x^3-7x^2+15x-9=0$
  1. Montrer que pour tout réel $x$, on a $x^3-7x^2+15x-9=(x-1)(x^2-6x+9)$
    Il faut développer l'expression $(x-1)(x^2-6x+9)$
    $(x-1)(x^2-6x+9)=0= x^3-6x^2+9x-x^2+6x-9=0= x^3-7x^215x-9=0$
  2. En déduire les solutions de l'équation $(E)$.
    Il faut utiliser la forme factorisée
    On résout sur $\mathbb{R}$:
    $x^3-7x^2+15x-9=0 \Longleftrightarrow (x-1)(x^2-6x+9)=0$
    $\phantom{x^3-7x^2+15x-9=0} \Longleftrightarrow (x-1)(x-3)^2=0$
    $\phantom{x^3-7x^2+15x-9=0}\Longleftrightarrow x-1=0$ ou $x-3=0$
    $\phantom{x^3-7x^2+15x-9=0}\Longleftrightarrow x=1$ ou $x=3$
Exercice 3 (5 points)
Résoudre les systèmes d'équations suivants avec la méthode de votre choix
  1. $\begin{cases} 2x+y=1\\ 3x+2y=0 \end{cases}$

    Systèmes d'équations à deux inconnues


    $S: \begin{cases} ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}$ avec $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ réels et $x$ et $y$ sont les deux inconnues.
    Le système $S$ admet une solution unique si et seulement si $ab'-a'b\neq 0$ (déterminant du système $S$).
    On peut ici isoler $y$ dans la première équation sans avoir de fractions (coefficient de $y$ égal à $1$) donc on peut résoudre par substitution
    Au préalable, on peut vérifier si il y a un couple solution unique.
    $2\times 2-1\times 3=4-3=1\neq 0$
    donc le système admet un unique couple solution.
    On peut résoudre par substitution en isolant $y$ dans la première équation.
    $\begin{cases} 2x+y=1\\ 3x+2y=0 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} y=-2x+1\\ 3x+2(-2x+1)=0 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} y=-2x+1\\ 3x-4x+2=0 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} y=-2x+1\\ -x+2=0 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} y=-2x+1\\ -x=-2 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} y=-2\times 2+1\\ x=2 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} y=-3\\ x=2 \end{cases}$

    Vérification
    Première équation: $2x+y=2\times 2 -3=4-3=1$ (vrai)
    Deuxième équation: $3x+2y=3\times 2+2\times (-3)=6-6=0$ (vrai)
    On peut contrôler le résultat avec la calculatrice MENU EQU puis Simultanées puis 2 inconnues et saisir les coefficients (voir cours ou ex 207 en vidéo)
  2. $\begin{cases} 2x+5y=3\\ -2x-3y=-5 \end{cases}$
    On ne peut pas isoler une inconnue sans avoir à faire des calculs avec les fractions donc on va résoudre par combinaisons
    Au préalable, on peut vérifier si il y a un couple solution unique.
    $2\times (-3)-5\times (-2)=-6+10=4\neq 0$
    donc le système admet un unique couple solution.
    $\begin{cases} 2x+5y=3\\ -2x-3y=-5 \end{cases}$
    $ \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x+5y-2x-3y=3-5~~~L_1+L_2\\ 6x+15y+(-10x-15y)=9-25~~~~3L_1+5L_2 \end{cases}$
    $ \Longleftrightarrow \begin{cases} 2y=-2\\ -4x=-16 \end{cases}$
    $ \Longleftrightarrow \begin{cases} y=-1\\ x=4 \end{cases}$

    Vérification
    Première équation: $2x+5y=2\times 4 +5\times (-1)=8-5=3$ (vrai)
    Deuxième équation: $-2x-3y=-2\times 4-3\times (-1)=-8+3=-5$ (vrai)
Exercice 4 (5 points)
Un automobiliste roule à la vitesse constante de 60kmh$ ^{-1}$ pendant la première partie de son parcours puis à 120kmh$^{-1}$ sur l'autoroute pendant la seconde partie du parcours.
Il met alors 2h pour parcourir 150km.
Quelle distance a-il parcourue sur l'autoroute (seconde partie de son parcours)?
Rappel: $d=v\times t$ ou $t=\dfrac{d}{v}$
On note $x$ la distance, en km, parcourue sur l'autoroute et la distance parcourue pendant la première partie de son parcours est $150-x$
On note $x$ la distance, en km, parcourue sur l'autoroute.
La distance parcourue à la vitesse de 60kmh$^{-1}$ est donc $d_1=150-x$ .
Le temps mis sur la première partie du parcours est donc $t_1=\dfrac{d_1}{v_1}=\dfrac{150-x}{60}$
Le temps mis sur la deuxième partie du parcours est donc $t_2=\dfrac{d_2}{v_2}=\dfrac{x}{120}$
On a $t_1+t_2=2$ heures
Il faut donc résoudre l'équation $\dfrac{150-x}{60}+\dfrac{x}{120}=2$
$\dfrac{150-x}{60}+\dfrac{x}{120}=2$
$ \Longleftrightarrow \dfrac{300-2x}{120}+\dfrac{x}{120}=\dfrac{240}{120}$
$\Longleftrightarrow 300-2x+x=240$
$\Longleftrightarrow 300-x=240$
$\Longleftrightarrow -x=240-300$
$\Longleftrightarrow x=60$