Exercice 1 (6 points)
On donne les points A, B , C et D (figure ci-dessous).
  1. Construire le vecteur $\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$

    Produit d'un vecteur par un réel


    Soit un réel $k\neq 0$ et un vecteur $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$
    Le produit de $k$ par le vecteur $\overrightarrow{u}$ est le vecteur $k\overrightarrow{u}$ tel que:
    $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont la même direction
    $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens si $k>0$ et des sens contraires si $k <0$
    $||k\overrightarrow{u}||=|k| \times ||\overrightarrow{u}||$

    Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$
    Il faut effectuer la translation de vecteur $-2\overrightarrow{AB}$ suivie de la translation de vecteur $\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$
  2. $\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$

    Somme de deux vecteurs


    Si on a $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$, la somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AC}$.

    Figures de base:

    Il faut appliquer au point $A$ la translation de vecteur $-\overrightarrow{BC}$ (sens contraire du vecteur $\overrightarrow{BC}$) suivie de la translation de vecteur $-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$
  3. $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}$
    Exprimer le vecteur $\overrightarrow{BM}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$ puis construire M.

    Relation de Chasles


    $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
    Il faut décomposer $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}$
    puis $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$
    $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$
    $\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CB}$
    $\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$
Exercice 2 (6 points)
$ABCD$ est un rectangle.
  1. Placer les points les points $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}$.
    Pour construire $E$, il faut appliquer au point $A$ la translation de vecteur $-\overrightarrow{AB}$ suivie de la translation de vecteur $2\overrightarrow{AD}$
  2. Pour toute la suite, on se place dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$
    1. Quelle est la nature de ce repère?
      Les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires
      $ABCD$ est un rectangle donc $(AB)\perp (AD)$
    2. Sans justifier, donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, et $D$.
      Le point $B$ est sur l'axe des abscisses et défini l'unité
    3. Calculer les coordonnées des points $E$ et $F$.

      Coordonnées d'un vecteur


      Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ alors $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

      Sur la figure ci-dessus $\overrightarrow{u}(4;2)$
      $\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_{\overrightarrow{AE}} =-x_{\overrightarrow{AB}} +2x_{\overrightarrow{AD}} \\
      y_{\overrightarrow{AE}} =-y_{\overrightarrow{AB}} +2y_{\overrightarrow{AD}} \end{cases}$

      $\phantom{\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_E-x_A =-(x_B-x_A) +2(x_D-x_A) \\ y_E-y_A =-(y_B-y_A) +2(y_D-y_A) \end{cases}$

      $\phantom{\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_E=-1 +2\times 0 \\ y_E =-0 +2 \end{cases}$

      $\phantom{\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_E=-1 \\ y_E =2 \end{cases}$


      $\overrightarrow{AF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_F-x_A=\dfrac{3}{2}(x_D-x_A) \\ y_F-y_A=\dfrac{3}{2}(y_D-y_A) \end{cases}$

      $\phantom{\overrightarrow{AF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_F=0 \\ y_F=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
    4. Montrer que les points E, C et F sont alignés.

      Critère de colinéarité dans un repère


      Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$
      Il faut calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{EF}$ puis utiliser le critère de colinéarité
      Coordonnées de $\overrightarrow{EC}$:
      $\begin{cases} x_C-x_E =1-(-1)=2 \\ y_C-y_E = 1-2=-1 \end{cases}$
      donc $\overrightarrow{EC}(2;-1)$

      Coordonnées de $\overrightarrow{CF}$:
      $\begin{cases} x_F-x_C =0-1=-1 \\ y_F-y_C =\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
      donc $\overrightarrow{CF}(-1;\dfrac{1}{2})$
      $x_{\overrightarrow{EC}}\times y_{\overrightarrow{CF}}-y_{\overrightarrow{EC}}\times x_{\overrightarrow{CF}}=2\times\dfrac{1}{2}-(-1)\times (-1)=1-1=0$
      l donc les vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{CF}$ sont colinéaires

      penser à contrôler les calculs (coordonnées des vecteurs et alignement) sur le graphique
Exercice 3 (8 points)
Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on donne les points $A(5;-4)$, $B(-1;6)$ et $C(9;-2)$
  1. Placer ces trois points dans le repère.
    On placera ensuite les divers éléments de l'exercice sur la figure au fil des questions.
    Montrer que les droites $(OA)$ et $(BC)$ sont parallèles.

    Critère de colinéarité dans un repère


    Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$
    Il faut montrer que les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires
    Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OA}$:
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{OA}} =x_A-x_O=5-0=5 \\ y_{\overrightarrow{OA}} =y_A-y_O=-4-0=-4 \end{cases}$
    $\overrightarrow{OA}(5;-4)$

    Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$:
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BC}} =x_C-x_B=9-(-1)=10 \\ y_{\overrightarrow{BC}} =y_C-y_B=-2-6=-8 \end{cases}$
    $\overrightarrow{BC}(10;-8)$
    $x_{\overrightarrow{OA}}\times y_{\overrightarrow{BC}}-y_{\overrightarrow{OA}}\times x_{\overrightarrow{BC}}=5\times(-8)-(-4)\times 10=-40+40=0$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires
  2. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
    Il faut que les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ soient égales
    $ABCD$ soit un parallélogramme donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (coordonnées égales)
    $ \begin{cases} x_B-x_A=x_C-x_D \\ y_B-y_A=y_C-y_D \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -1-5=9-x_D \\ 6-(-4)=-2-y_D \end{cases}$

    $\phantom{ \begin{cases} x_B-x_A=x_C-x_D \\ y_B-y_A=y_C-y_D \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_D =9+6=15 \\ y_D =-12 \end{cases}$

    Penser à contrôler les résultats sur le graphique
  3. Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[BC]$.

    Coordonnées du milieu d'un segment


    Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
    $ \begin{cases} x_I=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{-1+9}{2}=4 \\ y_I=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{6-2}{2}=2 \end{cases}$
  4. $D$ appartient-il à la droite $(OA)$?
    $(AD)//(BC)$ et $(OA)//(BC)$
    On peut aussi montrer que les points $O$, $A$ et $D$ sont alignés
    $ABCD$ est un parallélogramme donc $(AD)//(BC)$ et on a $(OA)//(BC)$
    donc $(OA)//((AD)$ donc $(OA)$ et $(AD)$ sont confondues


    On peut aussi montrer que les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont colinéaires.
  5. Déterminer les coordonnées du point $G$ centre de gravité du triangle $ABC$.
    Le centre de gravité est situé aux deux tiers de la médiane
    $G$ centre de gravité de $ABC$ donc $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ avec $I$ milieu de $[BC]$ et $I(4;2)$
    On a $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ donc:
    $ \begin{cases} x_G-x_A=\dfrac{2}{3}(x_I-x_A) \\ y_G-y_A=\dfrac{2}{3}(y_I-y_A) \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G-5=\dfrac{2}{3}(4-5) \\ y_G-(-4)=\dfrac{2}{3}(2-(-4)) \end{cases}$

    $\phantom{ \begin{cases} x_G-x_A=\dfrac{2}{3}(x_I-x_A) \\ y_G-y_A=\dfrac{2}{3}(y_I-y_A) \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G-5=\dfrac{-2}{3} \\ y_G-(-4)=4 \end{cases}$

    $\phantom{ \begin{cases} x_G-x_A=\dfrac{2}{3}(x_I-x_A) \\ y_G-y_A=\dfrac{2}{3}(y_I-y_A) \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G=\dfrac{-2}{3}+5=\dfrac{13}{3} \\ y_G=4-4=0 \end{cases}$


    Si on utilise $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$, on a:
    $\begin{cases} x_A-x_G+x_B-x_G+x_C-x_G=0 \\ y_A-y_G+y_B-y_G+y_C-y_G=0 \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} -3x_G+13=0 \\ -3y_G=0 \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G=\dfrac{13}{3} \\ y_G=0 \\ \end{cases}$
    Figure de l'exercice

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