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Exercice 1 (10 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
On donne les points $A(2;-3)$, $B(12;1)$ et $C(0;2)$.
  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ .

    Déterminer une équation cartésienne


    Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
    Méthode 1
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
    - $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$

    Méthode 2
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
    - $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)
    $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$
    $M(x;y)\in (AB)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=12-2=10 \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-(-3)=4 \\ \end{cases}$
    $\overrightarrow{AB}(10;4)$

    Soit $M(x;y)$ un point de la droite $(AB)$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-2 \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y+3 \\ \end{cases}$
    $\overrightarrow{AM}(x-2;y+3)$
    $M\in (AB)$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
    $\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AM}}- y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
    $\Longleftrightarrow 10(y+3)-4(x-2)=0$
    $\Longleftrightarrow 10y+30-4x+8=0$
    $\Longleftrightarrow -4x+10y+38=0$
    $\Longleftrightarrow -2x+5y+19=0$ (en divisant chaque membre par 2)


    Il existe une infinité d'équations cartésiennes pour une même droite.
    Autre méthode possible:
    $\overrightarrow{AB}(10;4)$ est un vecteur directeur de (AB)
    et si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de (AB), le vecteur $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de (AB)
    donc ici $-b=-10$ soit $b=-10$ et $a=4$ donc une équation cartésienne de (AB) est de la forme $4x-10y+c=0$
    On peut utiliser les les coordonnées du point A pour calculer $c$:
    $A\in (AB)\Longleftrightarrow 4x_A-10y_A+c=0\Longleftrightarrow 8+30+c=0\Longleftrightarrow c=-38$
    On retrouve $4x-10y-38=0$ soit $-2x+5y+19=0$ pour une équation cartésienne de (AB)
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d)$ passant par $C$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(7;-3)$.
    $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
    $\overrightarrow{u}(7;-3)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
    donc $a=-3$ et $b=-7$ et $(d)$ admet une équation de la forme $-3x-7y+c=0$.
    $C(0;2)\in (d) \Longleftrightarrow -3x_C-7y_C+c=0$
    $\phantom{C(0;2)\in (d) } \Longleftrightarrow -14+c=0$
    $\phantom{C(0;2)\in (d) } \Longleftrightarrow c=14$
  3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ des droites $(AB)$ et $(d)$.
    Il faut résoudre le système formé avec les équations des droites $(AB)$ et $(d)$.
    On peut utiliser la méthode des combinaisons en multipliant chaque membre de l'équation de $(AB)$ par 3 et chaque membre de l'équation de $(d)$ par 2
    $\begin{cases} -2x+5y+19=0\\ -3x-7y+14=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 29y+29=0~~~3L_1-2L_2\\ -29x+203=0 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -2x+5y+19=0\\ -3x-7y+14=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} 29x=-29\\ -29x=-203 \end{cases}$

    $\phantom{\begin{cases} -2x+5y+19=0\\ -3x-7y+14=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=-1\\ x=7 \end{cases}$


    Penser à contrôler le résultat en remplaçant les coordonnées de $I$ dans chacune des équations.
    On peut aussi utiliser le MENU EQUATION de la calculatrice (simultanée puis deux inconnues) en saisissant les coefficients des équation écrites sous la forme $-2x+5y=-19$ et $-3x+7y=-14$

  4. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d')$ parallèle à $(AC)$ passant par $D(5;4)$.
    $\overrightarrow{AC}$ est un vecteur directeur de $(d')$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=0-2=-2 \\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=2-(3)=5\\ \end{cases}$
    $\overrightarrow{AC}(-2;5)$ est donc un vecteur directeur de $(d')$.
    On a donc $a=5$ et $-b=-2$ soit $b=2$ donc $5x+2y+c=0$ est une équation cartésienne de $(d')$

    $D(5;4)\in (d) \Longleftrightarrow 5\times 5+2\times 4+c=0$
    $\phantom{D(5;4)\in (d)} \Longleftrightarrow c=-33$
  5. Montrer que les droites $(d)$, $(AB)$ et $(d')$ sont concourantes en I.
    Il faut vérifier le point $I$ appartient à $(AB)$, $(d)$ et $(d')$
    On a $I(7;-1)$.
    $5 x_I+2y_I-33=35+2\times (-1)-33=35-2-33=0$ donc $I\in (d')$
    Le point $I$ est le point d'intersection de $(d)$ et $(AB)$ et $I\in (d')$

    Figure de l'exercice:

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équations cartésiennes

- tracer une droite définie par son équation cartésienne
- déterminer une équation cartésienne
- déterminer si deux droites sont parallèles
- déterminer une équation cartésienne d'une parallèle


infos: | 20-25mn |

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