MATHS-LYCEE.FR maths devoir corrigé chapitre

Exercice 1 (5 points)

Un lycée compte 1400 élèves dont 420 en seconde.
Quel est le pourcentage d'élèves en seconde?

Rappel de cours

Proportion d'un ensemble
On considère une partie $A$ d'un ensemble $E$.
On appelle proportion de $A$ dans $E$ le quotient du nombre d'éléments de $A$ par le nombre d'éléments de $E$.
Remarque
En multipliant par $100$ le quotient obtenu, on trouve quel pourcentage d'éléments de $E$ représente $A$.

Solution

$p=\dfrac{\text{nombre d'éléments de la partie}}{\text{nombre d'éléments de l'ensemble}}\times 100=\dfrac{420}{1400}\times 100=30$
On augmente le nombre 350 de 15%, quel nombre obtient-on?

Rappel de cours

Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$

Solution

Augmenter une valeur de 15% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $k=1+\dfrac{15}{100}=1,15$
$350\times 1,15=402,5$
Quel est le pourcentage d'évolution correspondant au coefficient multiplicateur 0,73?

Solution

$p=(0,73-1)\times 100=-27$
Quel coefficient multiplicateur applique-t-on si on effectue une augmentation de 22%?

Solution

Appliquer une augmentation de 22% revient à multiplier par $1+\dfrac{22}{100}=1,22$
On augmente un nombre de 30% et on obtient alors 318,5.
Quel est ce nombre?

Rappel de cours

Taux d'évolution réciproque
Soit $t$ un taux d'évolution, qui permet de passer d'une valeur $V_i$ à une valeur $V_f$.
On appelle taux d'évolution réciproque le taux $t'$ qui permet de revenir à la valeur $V_i$ initiale, c'est à dire le taux qu'il faut appliquer à $V_f$ pour retrouver $V_i$..
On calcule donc d'abord $k=1+t$ puis k'$ tel que $kk`=1$ soit $k'=\dfrac{1}{k}$.
On a alors $t'=k'-1$ (on obtient un pourcentage n multipliant par 100)

Aide

Déterminer le coefficient multiplicateur $k$ correspondant à une augmentation de 30% et déterminer la valeur initiale $x$ sachant que l'on a effectué $kx$ pour obtenir 318,5

Solution

Appliquer une augmentation de 30% revient à multiplier par $1+\dfrac{30}{100}=1,3$
Si on note $x$ la valeur initiale, on a alors $1,3x=318,5$
donc $x=\dfrac{316,5}{1,3}=245$
On applique deux hausses successives de 10% chacune.
Quel coefficient multiplicateur doit-on appliquer finalement?

Rappel de cours

Taux d'évolution
Le taux d'évolution d'une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$ est la variation relative de l'évolution par rapport à la valeur initiale soit: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$. En calculant $t\times 100$ on obtient le pourcentage d'évolution.

Aide

Déterminer le coefficient multiplicateur correspondant aux deux hausses successives
En déduire le pourcentage d'évolution correspondant

Solution

Appliquer une augmentation de 10% revient à multiplier par $1+\dfrac{10}{100}=1,1$
On applique successivement deux hausses de 10% donc cela revient à multiplier par $k=1,1\times 1,1=1,21$
$t=(1,21-1)\times 100=21$
On applique successivement une hausse de 35% suivie d'une baisse de 20%.
Quel est le pourcentage global d'évolution?

Solution

Appliquer une augmentation de 35% revient à multiplier par $1+\dfrac{35}{100}=1,35$
Appliquer une diminution de 20% revient à multiplier par $1-\dfrac{20}{100}=0,8$
Appliquer successivement ces deux pourcentages de variation revient à multiplier par $k=1,35\times 0,8=1,08$
$t=(k-1)\times 100=(1,08-1)\times 100=8$

Exercice 2 (5 points)

Un commerçant vend un produit 250 euros TTC( toutes taxes comprises) en 2012.
Les taxes s'élèvent à 19,6% du prix HT (prix hors taxes).
On arrondira les prix au centime près.

Quel est le prix HT en 2012?

Rappel de cours

Taux d'évolution
Le taux d'évolution d'une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$ est la variation relative de l'évolution par rapport à la valeur initiale soit: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$. En calculant $t\times 100$ on obtient le pourcentage d'évolution.

Aide

Déterminer le coefficient multiplicateur à appliquer au prix HT pour obtenir le prix TTC.

Solution

Augmenter les prix de 19,6% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $k=1+\dfrac{19,6}{100}=1,196$
Si on note $p$ le prix HT en 2012, on a alors $1,196p=250$
donc $p=\dfrac{250}{1,196}\approx 209,03$
Au premier janvier 2013, le commerçant augmente ses prix de vente (prix TTC) de 5%.
Quel sera le prix de vente de ce produit en 2013?

Rappel de cours

Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$

Aide

Appliquer le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 5% au prix TTC de 2012.

Solution

Augmenter le prix de 5% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $k_1=1+\dfrac{5}{100}=1,05$
$250\times 1,05=262,5$
En 2013, les taxes représentent toujours 19,6% du prix HT.
Quel est alors le prix HT en 2013?

Solution

On applique le coefficient $k=1+\dfrac{19,6}{100}=1,196$ au prix HT.
Si on note $p_1$ le prix HT en 2013, on a alors $1,196p=262,5$
donc $p_1=\dfrac{262,5}{1,196}\approx 219,48$
Quel est alors la recette supplémentaire fait par ce commerçant sur la vente de ce produit?
Quel est le pourcentage d'augmentation, arrondi aux dixièmes, de sa recette entre 2012 et 2013?

Rappel de cours

Taux d'évolution
Le taux d'évolution d'une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$ est la variation relative de l'évolution par rapport à la valeur initiale soit: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$. En calculant $t\times 100$ on obtient le pourcentage d'évolution.

Aide

0 Le bénéfice supplémentaire correspond à l'augmentation du prix HT de ce produit.

Solution

Le commerçant va gagner $219,48-209,03=10,45$ euros supplémentaires en 2013 par rapport à 2012.
L'augmentation est donc de 10,45 euros pour un prix de 209,03 euros en 2012.
$t=\dfrac{10,45}{209,03}\times 100\approx 5$