devoir sans calculatrice!
Exercice 1 (3 points)
Déterminer si chacune des affirmations est vraie ou fausse et justifier.
  1. $19600$ est le carré d'un nombre entier.

    Multiple


    Un nombre entier naturel $a$ est un multiple de $b \in \mathbb{N}^*$ ($b$ entier naturel non nul)si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$
    On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$
    Il ne faut avoir que des puissances paires dans la décomposition en facteurs premiers
    Décomposition de $19600$:

    $19600=2^4\times 5^2\times 7^2$
    $~~~~~~=(2^2\times 5\times 7)^2$
  2. $\sqrt{92}=4\times \sqrt{23}$

    Calculs avec des racines carrées


    $a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs.
    - Produit
    $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
    - Quotient
    $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ (avec $b\neq 0$)
    - Carré
    $\sqrt{a}^2=\sqrt{a^2}=a$
    On peut utiliser la décomposition de $92$ en facteurs premiers ou écrire $4\sqrt{23}$ sous la forme $\sqrt{a}$
    $92=2^2\times 23$
    donc $\sqrt{92}=\sqrt{2^2\times 23}=\sqrt{2^2}\sqrt{23}=2\sqrt{23}$

    $2\sqrt{23}=\sqrt{2^2}\sqrt{23}=\sqrt{2^2\times 23}=\sqrt{92}$
  3. La décomposition de $224$ en facteurs premiers est $224=2^5\times 7$.
    Affirmation: $224=28\times 8$
    à justifier en utilisant la décomposition donnée
    $28=4\times 7=2^2\times 7$
    $28=4\times 7=2^2\times 7$
    et $224=2^5\times 7= 2^2\times 2^3\times 7=2^2\times 7\times 2^3=(4\times 7)\times (2^3)=28\times 8$
Exercice 2 (2 points)
  1. Décomposer $63$ et $45$ en produit de facteurs premiers.

    Nombre premier


    Un nombre premier est un nombre entier naturel qui n'admet que deux diviseurs, $1$ et lui-même.
    Les dix premiers nombres premiers sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$
    $63=9\times 7=3^2\times 7$
    $45=9\times 5=3^2\times 5$
  2. En utilisant ces décompositions, calculer $\dfrac{1}{63}+\dfrac{1}{45}$ en donnant le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
    Les deux décompositions diffèrent seulement avec les facteurs $7$ et $5$
    $\dfrac{1}{63}+\dfrac{1}{45}= \dfrac{1}{3^2\times 7}+\dfrac{1}{3^2\times 5}$
    $\phantom{\dfrac{1}{63}+\dfrac{1}{45}}= \dfrac{5}{3^2\times 7\times 5}+\dfrac{7}{3^2\times 5\times 7}$
    $\phantom{\dfrac{1}{63}+\dfrac{1}{45}}= \dfrac{12}{3^2\times 5\times 7}$
    $\phantom{\dfrac{1}{63}+\dfrac{1}{45}}= \dfrac{2^2\times 3}{3^2\times 5\times 7}$
    $\phantom{\dfrac{1}{63}+\dfrac{1}{45}}= \dfrac{2^2}{3^{2-1}\times 5\times 7}$
    $\phantom{\dfrac{1}{63}+\dfrac{1}{45}}= \dfrac{2^2}{3\times 5\times 7}$
    $\phantom{\dfrac{1}{63}+\dfrac{1}{45}}= \dfrac{4}{105}$
Exercice 3 (2 points)
Écrire $\sqrt{252}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers naturels.

Calculs avec des racines carrées


$a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs.
- Produit
$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
- Quotient
$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ (avec $b\neq 0$)
- Carré
$\sqrt{a}^2=\sqrt{a^2}=a$
On peut décomposer $252$ en un produit de facteurs premiers
Décomposition de $252$:

$252=2^2\times 3^2\times 7$
donc $\sqrt{252}=\sqrt{2^2\times 3^2\times 7}$
$~~~~~~~~~~~=\sqrt{2^2}\sqrt{3^2}\sqrt{7}$
$~~~~~~~~~~~=2\times 3\sqrt{7}$
$~~~~~~~~~~~=6\sqrt{7}$
Exercice 4 (2 points)
Soit $a\in \mathbb{Z}$
  1. Montrer que la différence de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.

    Multiple


    Un nombre entier naturel $a$ est un multiple de $b \in \mathbb{N}^*$ ($b$ entier naturel non nul)si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$
    On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$
    Un multiple de $a$ s'écrit sous la forme $n=ka$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    Soit $n$ et $n'$ deux multiples de $a$ alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ et $k'\in \mathbb{Z}$ tels que $n=ka$ et $n'=k'a$.
    $n-n'=ka-k'a=a(k-k')=aK$ avec $K=k-k'$ donc $K\in \mathbb{Z}$
  2. Montrer que le produit de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.
    Soit $n$ et $n'$ deux multiples de $a$ alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ et $k'\in \mathbb{Z}$ tels que $n=ka$ et $n'=k'a$.
    $nn'=ka\times k'a=a\times ( kk'a)=aK'$ avec $K'=kk'a$ donc $K'\in \mathbb{Z}$

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Décomposition en facteurs premiers et applications

- décomposer un entier en produit de facteurs premiers
- simplifications de fractions
- simplifications de racines carrées


infos: | 10-15mn |

vidéos semblables


Pour compléter ce devoir, nous vous conseillons les vidéos suivantes pour préparer ce devoir.

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.