Exercice 1 (4 points)
Résoudre
  1. $\dfrac{2x^2-10x-5}{x+2} = x-3$

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
    rechercher d'abord la valeur interdite
    Les produits en croix sont égaux
    Il faut se ramener à une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$
    - Recherche de $D_f$
    Il faut $x+2\neq 0$ soit $x\neq -2$
    On résout sur $D_f=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace -2 \right\rbrace $
    - Pour tout réel $x \in D_f$:
    $\dfrac{2x^2-10x-5}{x+2} = x-3$
    $\Longleftrightarrow 2x^2-10x-5=(x+2)(x-3)$
    $\Longleftrightarrow 2x^2-10x-5=x^2-x-6$
    $\Longleftrightarrow x^2-9x+1=0$
    - $\Delta=b^2-4ac=81-4=77$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{9-\sqrt{77}}{2}$
    et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{9+\sqrt{77}}{2}$
    $x_1 \in D_f$ et $x_2\in D_f$
  2. $x^4-6x^2+8=0$
    On peut poser $X=x^2$
    On pose $X=x^2$
    et il faut alors résoudre l'équation $X^2-6X+8=0$
    $\Delta=b^2-4ac=36-32=4$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-2}{2}=2$
    et $X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+2}{2}=4$
    On doit résoudre:
    $x^2=2$ ou $x^2=4$
    $\Longleftrightarrow x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$ ou $x=2$ ou $x=-2$
  3. $1020x^2+x-1021=0$

    Somme et produit des racines


    Si le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$ alors on a:
    $ x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$ (somme des racines)
    et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ (produit des racines)
    On peut remarquer que 1 est une racine du polynôme
    On peut remarquer que $1020+1-1021=0$ donc $x_1=1$ est une solution.
    On a $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ soit $x_2=\dfrac{-1021}{1020}$.
Exercice 2 (5 points)
Résoudre
  1. $-2x^2+5x-3>0$

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    -Recherche des racines de $-2x^2+5x-3$
    $-2+5-3=0$ donc $x_1=1$ est une racine.
    $x_1x_2=\dfrac{c}{a} \Longleftrightarrow x_2=\dfrac{3}{2}$
    - Signe de $-2x^2+5x-3$

  2. $ \frac{2x^2-5x+1}{3-x}\leqslant 2$
    il faut chercher les valeurs interdites
    puis passer se ramener à une étude de signe du quotient en passant 2 à gauche
    - Il faut $3-x\neq 0$ soit $x \neq 3$
    donc $D_f=\mathbb{R} \setminus\left\lbrace 3 \right\rbrace $
    - Pour tout réel $x\in D_f$:
    $\dfrac{2x^2-5x+1}{3-x}\leqslant 2$
    $\Longleftrightarrow \dfrac{2x^2-5x+1}{3-x}-2\leqslant 0$
    $\Longleftrightarrow \dfrac{2x^2-5x+1-2(3-x)}{3-x}\leqslant 0$
    $\Longleftrightarrow \dfrac{2x^2-5x+1-6+2x)}{3-x}\leqslant 0$
    $\Longleftrightarrow \dfrac{2x^2-3x-5}{3-x}\leqslant 0$
    - Racines de $2x^2-3x-5$
    $\Delta=b^2-4ac=9+40=49$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-7}{4}=-1$
    et
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+7}{4}=\dfrac{5}{2}$
    - Tableau de signes

Exercice 3 (4 points)
Soit $P$ le polynôme défini sur $\mathbb{R}$ par : $P(x)=x^3-4x^2+5x-2$. On veut résoudre $P(x)=0$.
  1. Montrer que 2 est une solution de cette équation.
    Il faut vérifier que $P(2)=0$
    $P(2)=2^3-4\times 2^2+5\times 2-2=8-16+10-2=0$
  2. Déterminer alors les réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$.
    Il faut développer $P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$ et identifier les coefficients
    Pour tout réel $x$:
    $P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$
    $=ax^3+bx^2+cx-2ax^2-2bx-2c$
    $=ax^3+bx^2-2ax^2+cx-2bx-2c$
    $=x^3-4x^2+3x+2$
    Par identification des coefficients:
    $a=1$
    $b-2a=-4 \Longleftrightarrow b=-4+2a=-2$
    $c-2b=5 \Longleftrightarrow c=5+2b=1$
    et on a bien $-2c=-2$
  3. En déduire les solutions de l'équation $P(x)=0$.

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
    Il faut chercher les racines du facteur de degré 2
    $P(x)=0 \Longleftrightarrow x-2=0$ ou $x^2-2x-1=0$
    $\phantom{P(x)=0} \Longleftrightarrow x-2=0$ ou $(x-1)^2=0$
    $\phantom{P(x)=0} \Longleftrightarrow x-2=0$ ou $x=1$
Exercice 4 (4 points)
  1. Résoudre l'inéquation $m^2+5m+4>0$ d'inconnue $m$.

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    Racines de $m^2+5m+4$:
    $\Delta=5^2-4\times 1\times 4=9$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -5+3}{ 2 }=-1$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5 -3 }{2 }=-4$

  2. En déduire les valeurs de $m$ pour lesquelles l'équation $4mx^2+4(m+2)x-1=0$ admet deux solutions distinctes.
    Il faut que le discriminant soit strictement positif
    $\Delta_1=\left(4(m+2)\right)^2-4\times 4m\times (-1)$
    $\phantom{\Delta_1}=16(m+2)^2+16m$
    $\phantom{\Delta_1}=16(m^2+4m+4)+16m$
    $\phantom{\Delta_1}=16m^2+64m+64+16m$
    $\phantom{\Delta_1}=16m^2+80m+64$
    $\phantom{\Delta_1}=16(m^2+5m+4)$
    Il y a deux solutions si $\Delta >0$ donc si $m^2+5m+4>0$ (inéquation de la question 1)
Exercice 5 (3 points)
On considère un repère orthonormé et le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(4;2)$ et de rayon $2\sqrt{2}$ unités.
On rappelle que dans un repère orthonormé, $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ avec $A(x_A;y;A)$ et $B(x_B;y_B)$.
  1. Montrer que les coordonnées d'un points $M(x;y)$ appartenant au cercle $\mathcal{C}$ doivent vérifier l'égalité $x^2-8x+y^2-4y+12=0$.
    include65 fclude
    $M \in \mathcal{C} \Longleftrightarrow AM=2 \Longleftrightarrow AM^2=(2\sqrt{2})^2=8$
    $AM^2=(x-4)^2+(y-2)^2$
    $\phantom{AM^2}=x^2-8x+16+y^2-4y+4$
    $\phantom{AM^2}=x^2-8x+y^2-4y+20$
    $AM^2=8 \Longleftrightarrow x^2-8x+y^2-4y+20=8 \Longleftrightarrow x^2-8x+y^2-4y+12=0$
  2. En déduire les coordonnées des points d'intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec les axes du repères (axe des abscisses et axe des ordonnées).
    On pourra faire une figure pour contrôler graphiquement les résultats obtenus.
    Il faut avoir $x=0$ puis $y=0$
    Avec l'axe des abscisses:
    On a alors $y_M=y=0$ et donc $x^2-8x+12=0$
    $2^2-8\times 2+12=4-16+12=0$
    donc $x_1=2$ est une solution et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
    soit $2x_2=12$ donc $x_2=6$

    Avec l'axe des ordonnées:
    On a alors $x_M=y=0$ et donc $y^2-4y+5=0$
    $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 1\times 5=16-20=-4$
    donc il n'y a aucune solution
\ex{3} Dans une foire, une catapulte permet de lancer des billes sur une cible. La trajectoire de ces billes et un arc de parabole(voir schéma ci-dessous) où $A$ est le point de lancement et $S$ le sommet de l'arc de parabole.

Lors de son lancer, Pierre envoie la bille pour laquelle la hauteur maximale atteinte est de 4,9 m et retombant sur le sol à 14 mètres du point de lancement.
On place une cible circulaire de diamètre 25cm à 10 mètres de la catapulte(point P) dont le centre est à une hauteur $h=3,9$ mètres.
La bille de Pierre traversera-t-elle la cible?
On considère le repère orthonormé d'unité 1m et d'origine $A$.
On note $P$ la fonction dont la représentation graphique est la parabole correspondant à la trajectoire de la bille.
Les racines de $P$ sont $x_1=0$ et $x_2=14$.
Le sommet $S$ a pour ordonnée $y_S=4,9$ et pour abscisse $x_S=\dfrac{0+14}{2}=7$ (milieu de $[AB ]$).
On a donc $P(x)=a(x-7)^2+4,9$.
$P(0)=0 \Longleftrightarrow a(0-7)^2+4,9=0 \Longleftrightarrow a=\dfrac{-4,9}{49}=-0,1$
donc $P(x)=-0,1(x-7)^2+4,9$
Lorsque la bille passera au niveau de la cible, on aura alors pour abscisse 10 et la bille sera a une hauteur de $P(10)=-0,1(10-7)^2+4,9=4$ mètres.
La cible a un diamètre de 25cm soit un rayon de 12,5cm=0,125m.
Le bas de la cible est donc a une hauteur de $h_1=3,9-0,125=3,775$m et le haut de la cible a une hauteur de $h_2=3,9+0,125=4,025$
On a bien $P(10)$ compris entre $h_1$ et $h_2$

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.