Exercice 1 (5 points)
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $u_{n}=-5n^3-n$.
  1. Calculer $u_0$, $u_1$ puis $u_{10}$
    Il faut prendre successivement $n=0$, $n=1$ puis $n=10$ dans la relation $u_{n}=-5n^3-n$.
    En prenant $n=0$, on a: $u_0=-5\times 0^3-0=0$
    En prenant $n=1$, on a: $u_=-5\times 1^3-1=-6$
    En prenant $n=10$, on a: $u_{10}=-5\times 10^3-10=-5010$
  2. Cette suite est-elle définie sous forme explicite ou par récurrence? Justifier.

    Forme explicite


    $(u_n)$ est définie sous forme explicite si $u_n=f(n)$ avec $f$ fonction définie pour $x\geq 0$.
    $f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.

    Relation de récurrence


    La suite $(u_n)$ est définie par récurrence si $u_{n+1}$ est exprimé en fonction des termes précédents.
    Si la suite est définie sous forme explicite, on peut calculer $u_n$ pour tout entier naturel $n$ sans calculer les termes précédents.
    Pour tout entier naturel $n$, on peut calculer $u_n$ sans calculer les termes précédents
  3. Quelle est la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ associée à la suite $(u_n)$?
    La suite étant définie sous forme explicite, on peut déterminer une fonction associée à la suite $(u_n)$ telle que $u_n=f(n)$ en prenant $f(x)=-5x^3-x$.
    On a alors $u_n=f(n)=-5n^3-n$.
  4. Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
    Il faut calculer $f'(x)$ et étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer les variations de $f$ et donc celles de la suite $(u_n)$.
    $f'(x)=-5\times 3x^2-1=-15x^2-1$
    $x^2 \geq 0$ donc $-15x^2 \leq 0$ et donc $f'(x) < 0$
    donc $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$
Exercice 2 (5 points)
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $\left\{ \begin{array}[c]{l} u_0=5\\ \\ 3u_{n+1}=3u_n-8 \end{array}\right.$.
  1. Calculer $u_1$ .
    Il faut prendre $n=0$ dans la relation $ 3u_{n+1}=3u_n-8$.
    En prenant $n=0$, on a $3u_{0+1}=3u_0-8$
    donc $3u_1=3u_0-8=3\times 5-8=7$
  2. Cette suite est-elle définie sous forme explicite ou par récurrence? Justifier.

    Forme explicite


    $(u_n)$ est définie sous forme explicite si $u_n=f(n)$ avec $f$ fonction définie pour $x\geq 0$.
    $f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.

    Relation de récurrence


    La suite $(u_n)$ est définie par récurrence si $u_{n+1}$ est exprimé en fonction des termes précédents.
    Si la suite est définie sous forme explicite, on peut calculer $u_n$ pour tout entier naturel $n$ sans calculer les termes précédents.
    Pour tout entier naturel $n$, pour calculer $u_{n+1}$ il faut connaître $u_n$
  3. Etudier les variations de la suite $(u_n)$ en étudiant la différence $u_{n+1}-u_n$.

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
    $ 3u_{n+1}=3u_n-8$ donc $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-8}{3}$
    $u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n-8}{3}-u_n=\dfrac{3u_n-8-3u_n}{3}=\dfrac{-8}{3}$
    donc pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n < 0$ soit $u_{n+1}< u_n$


    $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-8}{3}= \dfrac{3u_n}{3}+ \dfrac{-8}{3}=u_n-\dfrac{8}{3}$
    On a une relation de la forme $u_{n+1}=u_n+r$ avec $r=\dfrac{-8}{3}$ donc la suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=\dfrac{-8}{3}$ négative
    donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Fiche méthode


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Étude des variations d'une suite

- méthodes possibles
- exemples types


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