Exercice 1 (5 points)
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $u_{n}=-5n^3-n$.
- Calculer $u_0$, $u_1$ puis $u_{10}$
- Cette suite est-elle définie sous forme explicite ou par récurrence? Justifier.
Forme explicite
$(u_n)$ est définie sous forme explicite si $u_n=f(n)$ avec $f$ fonction définie pour $x\geq 0$.
$f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.Relation de récurrence
La suite $(u_n)$ est définie par récurrence si $u_{n+1}$ est exprimé en fonction des termes précédents.Si la suite est définie sous forme explicite, on peut calculer $u_n$ pour tout entier naturel $n$ sans calculer les termes précédents.Pour tout entier naturel $n$, on peut calculer $u_n$ sans calculer les termes précédents
- Quelle est la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ associée à la suite $(u_n)$?
La suite étant définie sous forme explicite, on peut déterminer une fonction associée à la suite $(u_n)$ telle que $u_n=f(n)$ en prenant $f(x)=-5x^3-x$.
On a alors $u_n=f(n)=-5n^3-n$.
- Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
Exercice 2 (5 points)
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
$\left\{
\begin{array}[c]{l}
u_0=5\\
\\
3u_{n+1}=3u_n-8
\end{array}\right.$.
- Calculer $u_1$ .
- Cette suite est-elle définie sous forme explicite ou par récurrence? Justifier.
Forme explicite
$(u_n)$ est définie sous forme explicite si $u_n=f(n)$ avec $f$ fonction définie pour $x\geq 0$.
$f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.Relation de récurrence
La suite $(u_n)$ est définie par récurrence si $u_{n+1}$ est exprimé en fonction des termes précédents.Si la suite est définie sous forme explicite, on peut calculer $u_n$ pour tout entier naturel $n$ sans calculer les termes précédents.Pour tout entier naturel $n$, pour calculer $u_{n+1}$ il faut connaître $u_n$
- Etudier les variations de la suite $(u_n)$ en étudiant la différence $u_{n+1}-u_n$.
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.$ 3u_{n+1}=3u_n-8$ donc $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-8}{3}$
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n-8}{3}-u_n=\dfrac{3u_n-8-3u_n}{3}=\dfrac{-8}{3}$
donc pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n < 0$ soit $u_{n+1}< u_n$
$u_{n+1}=\dfrac{3u_n-8}{3}= \dfrac{3u_n}{3}+ \dfrac{-8}{3}=u_n-\dfrac{8}{3}$
On a une relation de la forme $u_{n+1}=u_n+r$ avec $r=\dfrac{-8}{3}$ donc la suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=\dfrac{-8}{3}$ négative
donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
Fiche méthode
Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Étude des variations d'une suite
- méthodes possibles
- exemples types
infos: | 15-20mn |
vidéos semblables
Pour compléter ce devoir, nous vous conseillons les vidéos suivantes pour préparer ce devoir.
exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.