Exercice 1 (3 points)
Pour chaque question, une seule réponse est exacte parmi celles qui sont proposées.
Une réponse correcte rapporte 1 point, l'absence de réponse n'ajoute et n'enlève aucun point et une réponse fausse enlève 0,5 point.
Si le total des points de l'exercice est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.
Recopier sur la copie la réponse correcte (rien ne doit être écrit sur le polycopié).
On ne demande aucune justification.
  1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la droite $(d)$ a pour équation $-2y+3=3x0$.
    Un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ à $(d)$ a pour coordonnées:
    a. $\overrightarrow{n}(-3;-2)~~~~~~~~~$b.$\overrightarrow{n}(3;-2)$
    c.$\overrightarrow{n}(-2;3)~~~~~~~~~$d.$\overrightarrow{n}(2;-3)$

    Vecteur normal


    Le plan est muni d'un repère orthonormé.
    Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
    Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}(a;b)$
    La droite $(d)$ a pour équation $-2y+3=3x0$ donc $a=-2$ et $b=3$
  2. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la droite $(d)$ a pour équation $3x-2y+3=0$.
    Une équation cartésienne de $(d')$ perpendiculaire à $(d)$ et passant par $A(1;-2)$ est
    a. $3x-2y-7=0~~~~$b. $2x+3y+3=0~~~~$c. $2x+3y+4=0~~~~$ d. aucune réponse ne convient
    On peut chercher les coordonnées d'un vecteur directeur de $(d')$
    Il faut aussi que les coordonnées de $A$ vérifient une équation de $(d')$.
    Le vecteur $\overrightarrow{n}(3;-2)$ est un vecteur normal à $(d)$.
    $\overrightarrow{n}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$ donc $-b=3$ soit $b=-3$ et $a=-2$
    donc $(d')$ admet une équation de la forme $-2x-3y+c=0$
    $A\in (d')\Longleftrightarrow -2x_A-3y_A+c=0$
    $\phantom{A\in (d')} \Longleftrightarrow -2+6+c=0$
    $\phantom{A\in (d')} \Longleftrightarrow c=-4$
  3. Dans un repère orthonormé, l'équation $x^2-8x+y^2+6y=0$ est celle d'un cercle
    a.de centre $A(4;3)$ et de rayon $25~~~~$ b. de centre $A(-4;3)$ et de rayon 5
    c. de centre $A(4;-3)$ et de rayon $25~~~~$ d. de centre $A(4;-3)$ et de rayon 5

    Équation d'un cercle


    Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
    $(x-4)^2=x^2-8x+16$
    et $\left(y+3\right)^2=y^2+6y+9$
    $x^2-8x+y^2+6y=0 \Longleftrightarrow (x-4)^2-16+(y+3)^2-9=0$
    $\phantom{x^2-8+y^2+6y=0} \Longleftrightarrow (x-4)^2+(y+3)^2=25$
    $\phantom{x^2-8+y^2+6y=0} \Longleftrightarrow (x-4)^2+(y-(-3))^2=25$
Exercice 2 (3 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé qu'on pourra représenter et compléter au fur et à mesure de l'exercice (non exigé)
  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $\Delta$ perpendiculaire à la droite $d~~:~~2x+y+3=0$ passant par $A(-4;5)$.

    Vecteur normal


    Le plan est muni d'un repère orthonormé.
    Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
    Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}(a;b)$
    $\overrightarrow{n}(2;1)$ est un vecteur normal à la droite $d$ donc est un vecteur directeur de $\Delta$.
    $\Delta$ admet une équation cartésienne de la forme $x-2y+c=0$
    $A\in d \Longleftrightarrow x_A-2y_A+c=0 \Longleftrightarrow c=14$
    donc $\Delta$: $x-2y+14=0$
  2. Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$ de centre $I(-2;3)$ et de rayon 3.

    Équation d'un cercle


    Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
    $M(x;y)\in \mathcal{C} \Longleftrightarrow IM^2=3^2 \Longleftrightarrow (x-(-2))^2+(y-3)^2=9$
  3. Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}'$ de diamètre $[AB]$ avec $A(\dfrac{2}{3};-2)$ et $B(3;\dfrac{5}{3})$.
    Le triangle $ABM$ si $M(x;y)$ est un point de $C$ est rectangle en $M$
    On peut aussi calculer les coordonnées du centre milieu de $[AB ]$ et la diatance $AB$
    $M(x;y)\in \mathcal{C}' \Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-\dfrac{2}{3}\\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-(-2)=y+2 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AM}(x-\dfrac{2}{3};y+2)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BM}}=x_M-x_B=x-3 \\ y_{\overrightarrow{BM}}=y_M-y_B=y-\dfrac{5}{3} \end{cases}$ donc $\overrightarrow{BM}(x-3;y-\dfrac{5}{3})$
    $M(x;y)\in \mathcal{C}'$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$
    $\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AM}}x_{\overrightarrow{BM}}+ y_{\overrightarrow{AM}}y_{\overrightarrow{BM}}=0$
    $\Longleftrightarrow (x-\dfrac{2}{3})(x-3)+(y+2)(y-\dfrac{5}{3})=0$
    $\Longleftrightarrow x^2-\dfrac{2}{3}x-3x+2+y^2+2y-\dfrac{5}{3}y-\dfrac{10}{3}=0$ $\Longleftrightarrow x^2-\dfrac{11}{3}x+y^2+\dfrac{1}{3}y-\dfrac{16}{3}=0$
Exercice 3 (4 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
  1. Montrer que l'ensemble des points $M(x;y)$ dont les coordonnées vérifient l'équation $x^2+y^2+2x-6y+5=0$ est un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre $I$ et le rayon.
    $x^2+2x=(x+1)^2-1$ et $y^2-6x=(y-3)^2+9$
    $x^2+y^2+2x-6y+5=0\Longleftrightarrow (x+1)^2-1+(y-3)^2-9+5=0 \Longleftrightarrow (x-(-1))^2+(y-3)^2=5$
    donc cette équation définit un cercle de centre $I(-1;3)$ et de rayon $\sqrt{5}$
  2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle $\mathcal{C}$ et des axes de coordonnées du repère.
    On notera $A$ et $B$ les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de l'axe $(Oy)$, $A$ étant celui avec la plus petite ordonnée.
    On a $x_A=x_B=0$ et les coordonnées de $A$ doivent vérifier l'équation du cercle
    $M(x;y)$ appartient à l'axe des ordonnées si $x=0$
    et $M\in \mathcal{C} \Longleftrightarrow (x-(-1))^2+(y-3)^2=5$
    $ \Longleftrightarrow (0-(-1))^2+(y-3)^2=5$
    $ \Longleftrightarrow (y-3)^2=4$
    $\Longleftrightarrow y-3=2$ ou $y-3=-2$
    $\Longleftrightarrow y=5$ ou $y=1$

    Intersection avec l'axe des abscisses:
    $M(x;y)$ appartient à l'axe des abscisses si $y=0$
    et $M\in \mathcal{C}$
    $ \Longleftrightarrow (x-(-1))^2+(0-3)^2=5$
    $ \Longleftrightarrow (x+1)^2=-4$
    Cette équation n'admet pas de solution car $(x+1)^2>0$
  3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente $T$ au cercle $\mathcal{C}$ en $A$.
    $T$ est pewrpendiculaire à $(AI)$
    $T$ est tangente au cercle en $A$ si et seulement si $(IA)\perp (T)$ et $A\in(T)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AI}}=x_I-x_A=-1-0=-1\\ y_{\overrightarrow{AI}}=y_I-y_A=3-1=2 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AM}(-1;2)$
    Soit $M(x;y)$: $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x\\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-1 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AM}(x+1;y-1)$
    $M(x;y)\in T$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}=0$
    $\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AI}}x_{\overrightarrow{AM}}+ y_{\overrightarrow{AI}}y_{\overrightarrow{AM}}=0$
    $\Longleftrightarrow -1\times x+2\times (y-1)=0$
    $\Longleftrightarrow -x+2y-2=0$

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