Exercice 1 (5 points)
Déterminer(sans justifier) la limite de $(u_n)$ dans chaque cas:
- $u_n=2n^2$
- $u_n=\dfrac{1}{n+2}$
- $u_n=-3n^3$
On a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^3=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -3n^3=-\infty$
Exercice 2 (5 points)
$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=0$ avec $u_n>0$ pour tout entier $n$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=+\infty$
Déterminer les limites ci-dessous si cela est possible.
- $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n+ v_n$
- $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n\times v_n$
Formes indéterminées
Formes indéterminées à retenir $+\infty-\infty~~~~~~0\times \infty$
$\dfrac{0}{0}~~~~\dfrac{\infty}{\infty}$ - $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}$
Limite d'un quotient
- $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}$
Limite d'un quotient
Exercice 3 (5 points)
La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{n+2}{n^2+1}$.
- Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
Montrer que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.Il faut vérifier que la différence, puis le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant$u_0=\dfrac{0+2}{0^2+1}=2$
$u_1=\dfrac{1+2}{1^2+1}=\dfrac{3}{2}$
$u_2=\dfrac{2+1}{2^2+1}=\dfrac{3}{5}$
$u_1-u_0=\dfrac{3}{2}-2=\dfrac{-1}{2}$
$u_2-u_1=\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{-9}{15}=\dfrac{-3}{5}$
$u_1-u_0\neq u_2-u_1$
$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{u_2}{u_1}= \dfrac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{2 }{3}=\dfrac{2}{5}$
$\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$
- Montrer que pour tout $n>0$ on a $u_n=\dfrac{1+\dfrac{2}{n}}{n+\dfrac{1}{n}}$
En déduire la limite de la suite $(u_n)$.Limite d'un quotient
On peut factoriser $n$ au numérateur et au dénominateur
Chercher ensuite la limite du numérateur et du dénominateur puis du quotientPour tout $n>0$ on a:
$u_n=\dfrac{n\left(n+\dfrac{2}{n}\right)}{n\left(n+\dfrac{1}{n}\right)}=\dfrac{1+\dfrac{2}{n}}{n+\dfrac{1}{n}}$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{n}=0$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac{2}{n}=1$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n+\dfrac{1}{n}=+\infty$
Exercice 4 (5 points)
La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=3+\dfrac{cos(n)}{n+1}$
- Déterminer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n+1}$.
Limite d'un quotient
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n+1=+\infty$
- En utilisant un encadrement de $u_n$, déterminer la limite de $(u_n)$.
Théorème des gendarmes
Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.
Si $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n=\ell$ et s'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $u_n\leq v_n\leq w_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.On a $-1\leq cos(n)\leq 1$
Il faut montrer que $3-\dfrac{1}{n+1}\leq u_n\leq 3+\dfrac{1}{n+1}$On a $-1\leq cos(n)\leq n$
donc $\dfrac{-1}{n+1}\leq \dfrac{cos(n)}{n+1}\leq \dfrac{1}{n+1}$
en ajoutant $3$ à chaque membre
on a $3-\dfrac{1}{n+1}\leq u_n\leq 3+\dfrac{1}{n+1}$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n+1}=0$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}3-\dfrac{1}{n+1}=3$
et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}3+\dfrac{1}{n+1}=3$
On a donc $v_n\leq u_n\leq w_n$ avec $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}w_n=3$
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