Exercice 1 (7 points)
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $D$.
- $f(x)=4x+1$ avec $D=\mathbb{R}$
Primitives des fonctions usuelles
$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives $f$.
$F(x)=2x^2+x$
En effet $F'(x)=2\times 2x+1=4x+1=f(x)$
- $f(x)=\dfrac{-5}{x}$ avec $D=]0;+\infty[$
Primitives des fonctions usuelles
$f$ est continue sur $D$ donc admet des primitives sur $D$.
$F(x)=-5ln(x)$
En effet $F'(x)=-5\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{-5}{x}=f(x)$
- $f(x)=2e^x+x$ avec $D=\mathbb{R}$
- $f(x)=6e^{3x}$ avec $D=\mathbb{R}$
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$$(e^{3x})'=3e^{3x}$$f$ est continue sur $D$ donc admet des primitives sur $D$.
$F(x)=2e^{3x}$
En effet $F'(x)=2\times 3e^{3x}=6e^{3x}=f(x)$
- $f(x)=cos(-2x+1)$ avec $D=\mathbb{R}$
Exercice 2 (3 points)
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(4-x)e^{-x}$.
- Montrer que $F$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(x-3)e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Primitive d'une fonction
$F$ définie et dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$.
Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives.
Par exemple $F(x)=x^2$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x-3$ et $v(x)=e^{-x}$ et il faut vérifier que $F'(x)=f(x)$On pose $u(x)=x-3$ et $v(x)=e^{-x}$
et on a $u'(x)=1$ et $v'(x)=-e^{-x}$ (on a $(-x)'=-1$)
$F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$=1e^{-x}+(x-3)(-e^{-x})$
$=e^{-x}-xe^{-x}+3e^{-x}$
$=e^{-x}(1-x+3)$
$=e^{-x}(4-x)$
$=f(x)$
- En déduire la primitive $G$ de $f$ s'annulant en $x=-1$.
Ensemble des primitives d'une fonction
$f$ est une fonction continue sur $I$ admettant une primitive $F$ sur $I$. L'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions $G$ de la forme $G(x)=F(x)+C$ avec $C\in \mathbb{R}$On a $G(x)=F(x)+C$ et $G(-1)=0$$G(x)=F(x)+C=e^{-x}(x-3)+C$ avec $C$ constante réelle
$G$ s'annule en $x=-1$
donc $G(-1)=e^{1}(-1-3)+C=-4e+C=0$
$-4e+C=0\Longleftrightarrow C=4e$
Fiche méthode
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Calculs d'intégrales
- intégrales avec les fonctions usuelles
- intégration par parties
infos: | 20mn |
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