MATHS-LYCEE
Exercice 1 (4 points)
Calculer les intégrales suivantes:
- $\int_0^1 4e^{2x} dx$
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Intégrale
La fonction $f$ est continue sur $[ab]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$
$\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$Il faut chercher une primitive de $4e^{2x}$$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc sur $[0;1]$ et admet donc des primitives.
$F(x)=2e^{2x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$
En effet $F'(x)=2\times 2e^{2x}=4e^{2x}=f(x)$
$F(0)=2e^0=2$ (rappel $e^0=1$)
$F(1)=2e^{1}=2e$
$\int_0^{1} 4e^{2x} dx=[F(x)]_0^1=F(1)-F(0)=2e-2$ - Calculer $\int_1^e \dfrac{4}{2x+1} dx$
Dérivée de ln(u)
$u$ est définie et dérivable sur $I$ et on a $u(x)>0$ sur $I$.
La composée de la fonction $ln$ et de $u$ est dérivable sur $I$
$(ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$Primitives des fonctions usuelles
Il faut chercher une primitive de $\dfrac{4}{2x+1}=\dfrac{2 u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x)=2x+1$$f$ est continue sur $[1;e]$ donc admet des primitives sur $[1;e]$
Si on pose $u(x)=2x+1$, on a $u'(x)=2$ et $f(x)=2\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x)>0$ sur $[1;e]$
$F(x)=2ln(2x+1)$ est une primitive de $f$ sur $[1;e]$.
En effet $F'(x)=2\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{4}{2x+1}=f(x)$
$F(1)=2ln(2\times 1+1)=2ln(3)$ et $F(e)=2ln(2e+1)$
$\int_1^e \dfrac{4}{2x+1} dx=[F(x)]_1^e=F(e)-F(1)=2ln(2e+1)-2ln(3)$
Exercice 2 (6 points)
En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes:
- $I=\displaystyle \int_0^1 xe^x dx$
Primitives des fonctions usuelles
Intégration par parties
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[1;b]$.
$\displaystyle \int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$On pose $u'(x)=e^x$ et v(x)=x$On pose $u'(x)=e^x$ et $v(x)=x$
On a alors $u(x)=e^x$ et $v'(x)=1$
$\displaystyle \int_0^1 xe^x dx$
$=\displaystyle \int_0^1 u'(x)v(x)dx$
$=[u(x)v(x)]_0^1-\displaystyle \int_0^1 u(x)v'(x)dx$
$=[xe^x]_0^1-\displaystyle \int_0^1 e^xdx$
$=1e^1-0e^0-[e^x]_0^1$
$=e^1-\left(e^1-e^0\right)$
$=e^1-e^1+1$ (rappel $e^0=1$)
$=1$
Penser à contrôler avec la calculatrice - $I=\displaystyle \int_1^e ln(x)dx$
On pose $u'(x)=1$ et $v(x)=ln(x)$On pose $u'(x)=1$ et $v(x)=ln(x)$
et on a $u(x)=x$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
$I=\displaystyle \int_1^e 1ln(x)dx$
$=\displaystyle \int_1^e u'(x)v(x)dx$
$=[u(x)v(x)]_1^e-\displaystyle \int_1^e u(x)v'(x)dx$
$=[xln(x)]_1^e-\displaystyle \int_1^e x\times \dfrac{1}{x} dx$
$=eln(e)-1ln(1)-\displaystyle \int_1^e 1 dx$
$=e-[x]_1^e$ (rappel $ln(e)=1$ et $ln(1)=0$)
$=e-(e-1)$
- $I=\displaystyle \int_0^{\pi} xcos(x) dx$
Primitives des fonctions usuelles
Intégration par parties
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[1;b]$.
$\displaystyle \int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$On pose $u'(x)=cos(x)$ et $v(x)=x$On pose $u'(x)=cos(^)x$ et $v(x)=x$
On a alors $u(x)=sin(x)$ et $v'(x)=1$
$I=\displaystyle \int_0^{\pi} xcos(x) dx$
$=\displaystyle \int_0^{\pi} u'(x)v(x) dx$
$=[u(x)v(x)]_0^\pi-\displaystyle \int_0^\pi u(x)v'(x)dx$
$=[xsin(x)]_0^\pi-\displaystyle \int_0^\pi sin(x)dx$
$=\pi sin(\pi)-0sin(0)-[-cos(x)]_0^{\pi}$
$=-(-cos(\pi)+cos(0))$
$=-(1+1)$ (rappel $cos(0)=1$ et $cos(\pi)=-1$)
$=-2$
Penser à contrôler avec la calculatrice
Fiche méthode
Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Aires et intégrales
- approximation d'une intégrale avec le graphique
- calcul d'une aire et rédaction type avec une fonction positive
infos: | 15mn |
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