MATHS-LYCEE
Exercice 1 (3 points)
- Écrire l'expression sous la forme $e^a$ avec $a$ réel.
$\dfrac{e^{2}\times e^5}{e^4}$Relation fonctionnelle
Pour tous réels $x$ et $y$ on a $exp(x)\times exp(y)=exp(x+y)$.
Avec la notation $e^x$, on a $e^xe^y=e^{x+y}$
simplifier d'abord le numérateur$\dfrac{e^{2}\times e^5}{e^4}$
$=\dfrac{e^{2+5}}{e^4}$
$=\dfrac{e^{7}}{e^4}$
$=e^{7-4}$
$=e^{3}$
- Écrire l'expression sous la forme $e^{kx}$ avec $k$ réel.
$e^{3x}\times \dfrac{e^{4x}}{e^x}$$e^{3x}\times \dfrac{e^{4x}}{e^x}$
$=e^{3x}\times e^{4x-x}$
$=e^{3x}\times e^{3x}$
$=e^{3x+3x}$
$=e^{6x}$
- Montrer que pour tout réel $x$, on a $\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$
On peut multiplier le numérateur et le dénominateur par $e^{-x}$$\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$
$=\dfrac{e^{-x}(e^x-1)}{e^{-x}(e^x+1)}$
$=\dfrac{e^{-x}e^x-e^{-x}}{e^{-x}e^x+e^{-x}}$
$=\dfrac{e^{-x+x}-e^{-x}}{e^{-x+x}+e^{-x}}$
$=\dfrac{e^{0}-e^{-x}}{e^{0}+e^{-x}}$
$=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$ car $e^0=1$
Exercice 2 (4 points)
Dans chaque cas, $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, calculer $f'(x)$.
- $f(x)=5e^x+3$
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$On calcule d'abord la dérivée de $5e^x$ - $f(x)=-2e^{-3x}+1$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$ - $f(x)=xe^{2x}$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{2x}$On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{2x}$
et on a $u'(x)=1$ et $v'(x)=2e^{2x}$ (dérivée de $e^{kx}$ avec $k=2$
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$~~~~~~~~=1e^{2x}+x\times 2e^{2x}$
$~~~~~~~~=e^{2x}+2xe^{2x}$
$~~~~~~~~=e^{2x}(1+2x)$
- $f(x)=\dfrac{2x+1}{e^x+1}$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$On pose $u(x)=2x+1$ et $v(x)=e^{x}+1$On pose $u(x)=2x+1$ et $v(x)=e^{x}+1$
et on a $u'(x)=2$ et $v'(x)=e^{x}$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$~~~~~~~~=\dfrac{2(e^x+1)-(2x+1)e^x}{(e^x)^2}$
$~~~~~~~~=\dfrac{2e^x+2-2xe^x-e^x}{e^{2x}}$
$~~~~~~~~=\dfrac{e^x+2-2xe^x}{e^{2x}}$
Exercice 3 (3 points)
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{-2x}-x+1$.
Déterminer le sens de variation de $f$.
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$
Signe de exp(x)
Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$
Il faut calculer $f'(x)$ et étudier son signe
$x \mapsto exp(-2x)$ et $x\mapsto -x+1$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$
donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f'(x)=-2e^{-2x}-1+0=e^{-2x}-1$
$e^{-2x}>0$ donc $-2e^{-2x}<0$ donc $-2e^{-2x}-1<-1<0$
donc $f'(x)<0$
donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f'(x)=-2e^{-2x}-1+0=e^{-2x}-1$
$e^{-2x}>0$ donc $-2e^{-2x}<0$ donc $-2e^{-2x}-1<-1<0$
donc $f'(x)<0$
Fiche méthode
Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Calculs de dérivées avec exponentielle
- rappels de cours
- dérivées avec $exp(x)$
- dérivées avec $exp(kx)$
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