PDF reservé aux abonnés

Exercice 1 (7 points)
Calculer le dérivée de chacune des fonctions ci-dessous, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$.
  1. $f(x)=-3e^{\dfrac{x}{2}}$

    Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$


    La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$

    La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$
    On a $e^{kx}$ avec $k=\dfrac{1}{2}$
    $f~'(x)=-3\times \dfrac{1}{2} e^{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{-3}{2} e^{\dfrac{x}{2}}$
  2. $g(x)=x^2e^{x}$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On pose $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$
    On pose $u(x)=x^2 $ et $v(x)= e^x $
    et on a $u'(x)=2x $ et $v'(x)= e^x $
    $g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $~~~~~~~~=2x e^x + x^2 e^x$
    $~~~~~~~~=e^x(2x+x^2)$
  3. $h(x)=(2x-4)e^{-x}$
    On pose $u(x)=2x-4 $ et $v(x)= e^{-x} $ et on a $h(x)=u(x)v(x)$
    On pose $u(x)=2x-4 $ et $v(x)= e^{-x} $
    et on a $u'(x)=2 $ et $v'(x)= -e^{-x} $
    $h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $~~~~~~~~=( 2 )( e^{-x} )+( 2x-4 ) ( - e^{-x} )$
    $~~~~~~~~=e^{-x}[2-(2x-4)]$
    $~~~~~~~~=e^{-x}(-2x+6)$
  4. $i(x)=\dfrac{e^{2x}}{x^2+1}$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On pose $u(x)= e^{2x} $ et $v(x)=x^2+1 $
    On pose $u(x)= e^{2x} $ et $v(x)=x^2+1 $
    et on a $u'(x)= 2e^{2x} $ et $v'(x)= 2x $
    $i'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

    $\phantom{i'(x)}=\dfrac{( 2e^{2x} )( x^2+1 )-( e^{2x} ) ( 2x )}{( x^2+1 )^2}$

    $\phantom{i'(x)}=\dfrac{e^{2x} (2(x^2+1)-2x) }{( -2x+6 )^2}$

    $\phantom{i'(x)}=\dfrac{e^{2x} ( 2x^2+2-2x )}{( x^2+1 )^2}$
Exercice 2 (5 points)
Résoudre les équations et inéquations suivantes:
  1. $e^{3x-5}=0$

    Égalité et inégalités avec exponentielle


    Pour tous réels $a$ et $b$, on a:
    $e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b$

    $e^a < e^b\Longleftrightarrow a < b$
    on a $e^0=1$ donc il faut résoudre $e^{3x+5}=e^0$
    $e^{3x-5}=0 \Longleftrightarrow e^{3x-5}=e^0$
    $\phantom{e^{3x-5}=0} \Longleftrightarrow e^{3x-5}=e^0$
    $\phantom{e^{3x-5}=0} \Longleftrightarrow 3x-5=0$
    $\phantom{e^{3x-5}=0} \Longleftrightarrow 3x=5$
    $\phantom{e^{3x-5}=0} \Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{3}$
  2. $e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x$

    Relation fonctionnelle


    Pour tous réels $x$ et $y$ on a $exp(x)\times exp(y)=exp(x+y)$.
    Avec la notation $e^x$, on a $e^xe^y=e^{x+y}$
    Il faut écrire d'abord $e^{2x}\times e^{3x-4}$ avec une seule exponentielle
    $e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x\Longleftrightarrow e^{2x+3x-4}=e^x$
    $\phantom{e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x}\Longleftrightarrow e^{5x-4}=e^x$
    $\phantom{e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x}\Longleftrightarrow 5x-4=x$
    $\phantom{e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x}\Longleftrightarrow 4x-4=0$
    $\phantom{e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x}\Longleftrightarrow 4x=4$
    $\phantom{e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x}\Longleftrightarrow x=1$
  3. $e^{2x+3}>e$
    On peut écrire $e=e^1$
    $e^{2x+3}>e \Longleftrightarrow e^{2x+3}>e^1$
    $\phantom{e^{2x+3}>e} \Longleftrightarrow 2x+3>1$
    $\phantom{e^{2x+3}>e} \Longleftrightarrow 2x> -2$
    $\phantom{e^{2x+3}>e} \Longleftrightarrow x> -1$
Exercice 3 (8 points)
La courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
La tangente T à la courbe au point $A(0;3)$ passe par le point $B(1;5)$.
  1. Déterminer graphiquement $f(0)$ puis $f~'(0)$

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$


    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
    Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0
    $A(0;3) $ appartient à la courbe donc $f(0)=3$
    $f~'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe au point $A$
    donc $f~'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2}{1}=2$
  2. Donner une équation de la tangente T.
    L'équation réduite d'une droite est de la forme $y=mx+p$ avec $m$ coefficient directeur et $p$ ordonnée à l'origine (ordonnée du point d'intersection de la droite et de l'axe des ordonnées)
    T a pour coefficient directeur $f~'(0)=2$ donc admet une équation réduite de la forme $y=2x+p$
    et coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3 donc $p=3$
  3. $f(x)=1+\dfrac{ax+b}{e^x}$ avec $a$ et $b$ réels.
    1. Déterminer l'expression de $f~'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
      On pose $u(x)=ax+b $ et $v(x)=e^x $
      On pose $u(x)=ax+b $ et $v(x)=e^x $
      et on a $u'(x)= a $ et $v'(x)= e^x $

      $f~'(x)=0+\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

      $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{( a )( e^x )-( ax+b ) (e^x )}{( e^x )^2}$

      $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{ e^x ( a- ax-b ) }{( e^x )^2}$
    2. A laide des résultats de la question 1, déterminer les réels $a$ et $b$
      exprimer $f~'(0)$ en fonction de $a$ et $b$ et on a $f~'(0)=2$
      Exprimer $f(0)$ en fonction de $a$ et $b$ et on a aussi $f(0)=3$
      $f(0)=1+\dfrac{a\times 0 +b}{e^0}=1+b=3$ donc $b=2$ (rappel: $e^0=1$)
      $f~'(0)=\dfrac{ - a\times 0+a-b ) }{e^0 }=a-b=2$ donc $a=2+b=4$
  4. On donne $f(x)=1+\dfrac{4x+2}{e^x}$
    Étudier les variations de $f$

    Signe de exp(x)


    Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$
    Déterminer $f~'(x)$ en utilisant la question 3.a et sachant que $a=4$ et $b=2$
    Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ donc $f~'(x)$ est du signe de $-4x+2$
    D'après la question 3.a., on a $f~'(x)=\dfrac{ e^x ( a- ax-b ) }{( e^x )^2}$
    et on a $a=4$ et $b=2$
    donc $f~'(x)=\dfrac{ - 4x+4-2 }{ e^x }=\dfrac{-4x+2}{e^x}$

    Pour tout réel $x$, $e^x>0$
    donc $f~'(x)$ est du signe de $-4x+2$
    $-4x+2>0 \Longleftrightarrow -4x>-2 \Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{2}$
    donc $f'(x)>0$ pour $x<\dfrac{1}{2}$

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Calculs de dérivées avec exponentielle

- rappels de cours
- dérivées avec $exp(x)$
- dérivées avec $exp(kx)$


infos: | mn |

vidéos semblables


Pour compléter ce devoir, nous vous conseillons les vidéos suivantes pour préparer ce devoir.

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.
réf :
| mn | validé| vu le 01/01/1970
réf :
| mn | validé| vu le 01/01/1970
réf 1000: Équations avec exponentielle (niv2)
| 5-8mn |
réf 1001: Inéquations avec exponentielle
| 4-6mn |