1. spécialité maths première
  2. chapitre
  3. devoir corrigé nº1011
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Exercice 1 (7 points)
Calculer le dérivée de chacune des fonctions ci-dessous, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$.
  1. $f(x)=-3e^{\dfrac{x}{2}}$

    Rappel de cours

    Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$

    La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$

    La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$

    Aide

    On a $e^{kx}$ avec $k=\dfrac{1}{2}$

    Solution

    $f~'(x)=-3\times \dfrac{1}{2} e^{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{-3}{2} e^{\dfrac{x}{2}}$
  2. $g(x)=x^2e^{x}$

    Rappel de cours

    Formules de dérivation (produit, quotient...)

    Aide

    On pose $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$

    Solution

    On pose $u(x)=x^2 $ et $v(x)= e^x $
    et on a $u'(x)=2x $ et $v'(x)= e^x $
    $g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $~~~~~~~~=2x e^x + x^2 e^x$
    $~~~~~~~~=e^x(2x+x^2)$
  3. $h(x)=(2x-4)e^{-x}$

    Aide

    On pose $u(x)=2x-4 $ et $v(x)= e^{-x} $ et on a $h(x)=u(x)v(x)$

    Solution

    On pose $u(x)=2x-4 $ et $v(x)= e^{-x} $
    et on a $u'(x)=2 $ et $v'(x)= -e^{-x} $
    $h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $~~~~~~~~=( 2 )( e^{-x} )+( 2x-4 ) ( - e^{-x} )$
    $~~~~~~~~=e^{-x}[2-(2x-4)]$
    $~~~~~~~~=e^{-x}(-2x+6)$
  4. $i(x)=\dfrac{e^{2x}}{x^2+1}$

    Rappel de cours

    Formules de dérivation (produit, quotient...)

    Aide

    On pose $u(x)= e^{2x} $ et $v(x)=x^2+1 $

    Solution

    On pose $u(x)= e^{2x} $ et $v(x)=x^2+1 $
    et on a $u'(x)= 2e^{2x} $ et $v'(x)= 2x $
    $i'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

    $\phantom{i'(x)}=\dfrac{( 2e^{2x} )( x^2+1 )-( e^{2x} ) ( 2x )}{( x^2+1 )^2}$

    $\phantom{i'(x)}=\dfrac{e^{2x} (2(x^2+1)-2x) }{( -2x+6 )^2}$

    $\phantom{i'(x)}=\dfrac{e^{2x} ( 2x^2+2-2x )}{( x^2+1 )^2}$
Exercice 2 (5 points)
Résoudre les équations et inéquations suivantes:
  1. $e^{3x-5}=1$

    Rappel de cours

    Égalité et inégalités avec exponentielle

    Pour tous réels $a$ et $b$, on a:
    $e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b$

    $e^a < e^b\Longleftrightarrow a < b$

    Aide

    on a $e^0=1$ donc il faut résoudre $e^{3x+5}=e^0$

    Solution

    $e^{3x-5}=1 \Longleftrightarrow e^{3x-5}=e^0$
    $\phantom{e^{3x-5}=0} \Longleftrightarrow e^{3x-5}=e^0$
    $\phantom{e^{3x-5}=0} \Longleftrightarrow 3x-5=0$
    $\phantom{e^{3x-5}=0} \Longleftrightarrow 3x=5$
    $\phantom{e^{3x-5}=0} \Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{3}$
  2. $e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x$

    Rappel de cours

    Relation fonctionnelle

    Pour tous réels $x$ et $y$ on a $exp(x)\times exp(y)=exp(x+y)$.
    Avec la notation $e^x$, on a $e^xe^y=e^{x+y}$

    Aide

    Il faut écrire d'abord $e^{2x}\times e^{3x-4}$ avec une seule exponentielle

    Solution

    $e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x\Longleftrightarrow e^{2x+3x-4}=e^x$
    $\phantom{e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x}\Longleftrightarrow e^{5x-4}=e^x$
    $\phantom{e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x}\Longleftrightarrow 5x-4=x$
    $\phantom{e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x}\Longleftrightarrow 4x-4=0$
    $\phantom{e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x}\Longleftrightarrow 4x=4$
    $\phantom{e^{2x}\times e^{3x-4}=e^x}\Longleftrightarrow x=1$
  3. $e^{2x+3}>e$

    Aide

    On peut écrire $e=e^1$

    Solution

    $e^{2x+3}>e \Longleftrightarrow e^{2x+3}>e^1$
    $\phantom{e^{2x+3}>e} \Longleftrightarrow 2x+3>1$
    $\phantom{e^{2x+3}>e} \Longleftrightarrow 2x> -2$
    $\phantom{e^{2x+3}>e} \Longleftrightarrow x> -1$
Exercice 3 (8 points)
La courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
La tangente T à la courbe au point $A(0;3)$ passe par le point $B(1;5)$.
  1. Déterminer graphiquement $f(0)$ puis $f~'(0)$

    Rappel de cours

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$

    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

    Aide

    Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0

    Solution

    $A(0;3) $ appartient à la courbe donc $f(0)=3$
    $f~'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe au point $A$
    donc $f~'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2}{1}=2$
  2. Donner une équation de la tangente T.

    Aide

    L'équation réduite d'une droite est de la forme $y=mx+p$ avec $m$ coefficient directeur et $p$ ordonnée à l'origine (ordonnée du point d'intersection de la droite et de l'axe des ordonnées)

    Solution

    T a pour coefficient directeur $f~'(0)=2$ donc admet une équation réduite de la forme $y=2x+p$
    et coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3 donc $p=3$
  3. $f(x)=1+\dfrac{ax+b}{e^x}$ avec $a$ et $b$ réels.
    1. Déterminer l'expression de $f~'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.

      Aide

      On pose $u(x)=ax+b $ et $v(x)=e^x $

      Solution

      On pose $u(x)=ax+b $ et $v(x)=e^x $
      et on a $u'(x)= a $ et $v'(x)= e^x $

      $f~'(x)=0+\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

      $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{( a )( e^x )-( ax+b ) (e^x )}{( e^x )^2}$

      $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{ e^x ( a- ax-b ) }{( e^x )^2}$
    2. A laide des résultats de la question 1, déterminer les réels $a$ et $b$

      Aide

      exprimer $f~'(0)$ en fonction de $a$ et $b$ et on a $f~'(0)=2$
      Exprimer $f(0)$ en fonction de $a$ et $b$ et on a aussi $f(0)=3$

      Solution

      $f(0)=1+\dfrac{a\times 0 +b}{e^0}=1+b=3$ donc $b=2$ (rappel: $e^0=1$)
      $f~'(0)=\dfrac{ - a\times 0+a-b ) }{e^0 }=a-b=2$ donc $a=2+b=4$
  4. On donne $f(x)=1+\dfrac{4x+2}{e^x}$
    Étudier les variations de $f$

    Rappel de cours

    Signe de exp(x)

    Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$

    Aide

    Déterminer $f~'(x)$ en utilisant la question 3.a et sachant que $a=4$ et $b=2$
    Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ donc $f~'(x)$ est du signe de $-4x+2$

    Solution

    D'après la question 3.a., on a $f~'(x)=\dfrac{ e^x ( a- ax-b ) }{( e^x )^2}$
    et on a $a=4$ et $b=2$
    donc $f~'(x)=\dfrac{ - 4x+4-2 }{ e^x }=\dfrac{-4x+2}{e^x}$

    Pour tout réel $x$, $e^x>0$
    donc $f~'(x)$ est du signe de $-4x+2$
    $-4x+2>0 \Longleftrightarrow -4x>-2 \Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{2}$
    donc $f'(x)>0$ pour $x<\dfrac{1}{2}$

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Calculs de dérivées avec exponentielle

- rappels de cours
- dérivées avec $exp(x)$
- dérivées avec $exp(kx)$

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