Exercice 1 (3 points)
Résoudre:
- $ln(x)=3$
Lien entre logarithme et exponentielle
- Pour tout réel $a >0$ on a $e^{ln(a)}=a$
- Pour tout réel $b$ on a $ln(e^b)=b$
- Valeurs particulières
$ln(1)=0$ et $ln(e)=1$$ln(x)=3 \Longleftrightarrow x=e^3$ - $ln(x)=-2$
$ln(x)=-2 \Longleftrightarrow x=e^{-2}$
- $e^x=4$
$e^x=4 \Longleftrightarrow x=ln(4)$
- $e^x=4$
Exercice 2 (4 points)
- Ecrire les expressions suivantes sous la forme $a+bln(3)$ avec $a$ et $b$ réels:
$A=ln(27)+ln\left(\dfrac{e}{3}\right)$ et $B= ln\left(\dfrac{e^2}{9}\right) + ln(3^4)$Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$On a $27=3^3$ et $ln(e)=1$$A=ln(27)+ln\left(\dfrac{e}{3}\right)$
$=ln(3^3)+ln(e)-ln(3)$
$=3ln(3)+ln(e)-ln(3)$
$=2ln(3)+1$
$B= ln\left(\dfrac{e^2}{9}\right) + ln(3^4)$
$=ln(e^2)-ln(9)+4ln(3)$
$=2ln(e)-ln(3^2)+4ln(3)$
$=2-2ln(3)+4ln(3)$
$=2+2ln(3)$
- Montrer que $ln\left( \dfrac{2}{3}\right) +ln(9)-ln(6e^5)$ est un entier.
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$On a $9=3^2$$ln\left( \dfrac{2}{3}\right) +ln(9)-ln(6e^5)=ln2-ln3+ln(3^2)-(ln6+ln(e^5))$
$\phantom{ln\left( \dfrac{2}{3}\right) +ln(9)-ln(6e^5)}=ln2-ln3+2ln3-ln(3\times 2)-5lne$
$\phantom{ln\left( \dfrac{2}{3}\right) +ln(9)-ln(6e^5)}=ln2+ln3-ln3-ln2-5$
$\phantom{ln\left( \dfrac{2}{3}\right) +ln(9)-ln(6e^5)}=-5$
Exercice 3 (3 points)
Calculer la dérivée de la fonction $f$ dérivable sur $I$.
- $f(x)=5xln(x)$ sur $I=]0;+\infty[$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Limites de ln
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$On pose $u(x)=5x$ et $v(x)=ln(x)$On pose $u(x)=5x$ et $v(x)=ln(x)$
et on a $u'(x)=5$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$=5ln(x)+5x\times \dfrac{1}{x}$
$=5ln(x)+5$
- $f(x)=ln(3x-6)$ sur $I=]2;+\infty[$
Dérivée de ln(u)
$u$ est définie et dérivable sur $I$ avec $u(x) > 0$
$ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(ln(u))'=(lnou)'=\dfrac{u'}{u}$Dérivée d'une fonction composée
$u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.On pose $u(x)=3x-6$$u(x)=3x-6$ et $u'(x)=3$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{3}{3x-6}$
Avec la dérivée d'une fonction composée, on a:
On pose $u(x)=3x-6$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=vou(x)$
$u'(x)=3$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=\dfrac{1}{3x-6}\times 3=\dfrac{3}{3x-6}$ - $f(x)=\dfrac{x}{ln(x)}$ sur $I=]1;+\infty[$
Fiche méthode
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Calculs de dérivées
- dérivée de ln et utlisation de la dérivée d'un produit ou quotient
- dérivée de la composée avec ln
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