Exercice 1 (10 points)
La fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ax+bln(x)$ avec $a$ et $b$ réels.
On donne ci-dessous $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal et T la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse 1.
  1. Déterminer graphiquement $f(1)$ et $f~'(1)$

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$


    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
    Il faut déterminer le coefficient directeur de T.
    Le point $A$ a pour coordonnées $(1;2)$ et appartient à la courbe
    donc $f(1)=2$
    $f~'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point $A$ d'abscisse 1 T passe par $A(1;2)$ et par $B(0;4)$
    donc $f~'(1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{4-2}{0-1}=-2$
  2. Exprimer $f~'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.

    Dérivée de la fonction ln


    La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
    On a $f(x)=ax+b\times ln(x)$
    $f(x)=ax+bln(x)$
    donc $f~'(x)=a+b\times \dfrac{1}{x}=a+\dfrac{b}{x}$
  3. En utilisant la question 1, déterminer les réels $a$ et $b$.
    On a $f(1)=2$ et il faut exprimer $f(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    De même on a $f~'(1)=-2$ et il faut exprimer $f~'(1)$ en fonction de $a$ et $b$.
    Rappel: $ln(1)=0$
    $f(x)=ax+bln(x)$ donc $f(1)=a+bln(1)=a$
    et d'après la question 1, $f(1)=2$
    donc $a=2$
    $f~'(x)=a+\dfrac{b}{x}$ donc $f~'(1)=a+b$
    et d'après la question 1, $f~'(1)=-2$
    donc $a+b=-2$
    En remplaçant $a$ par 2, on a $2+b=-2$ donc $b=-4$
  4. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$

    Limites de ln


    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$

    Croissances comparées


    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{ln(x)}{x}=0$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}xln(x)=0$
    $f(x)=2x-4ln(x)$
    Limite en $0$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}-4ln(x)=+\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}2x=0$

    La courbe admet l'axe des ordonnées pour asymptote.
    Limite en $+\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x=\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-4ln(x)=-\infty$
    et la limite de la somme est indéterminée.
    $f(x)=x\left(2-4\dfrac{ln(x)}{x}\right)$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-4\dfrac{ln(x)}{x}=0$ donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2-4\dfrac{ln(x)}{x}=2$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x=+\infty$
  5. Déterminer alors les variations de $f$ et dresser sont tableau de variations.
    On a obtenu à la question 2., $f~'(x)=a+\dfrac{b}{x}$ avec $a=2$ et $b=-4$
    Il faut étudier le signe de $f~'(x)$ en réduisant au préalable au même dénominateur
    Rappel: $x\in ]0;+\infty[$ donc $x>0$ ....
    D'après les questions 2. et 3., $f~'(x)=a+\dfrac{b}{x}$ avec $a=2$ et $b=-4$
    donc $f~'(x)=2-\dfrac{4}{x}=\dfrac{2x-4}{x}$
    $x\in ]0;+\infty[$ donc $x>0$ et $f~'(x)$ est du signe de son numérateur $2x-4$.
    $2x-4>0 \Longleftrightarrow 2x>4 \Longleftrightarrow x>2$
    donc $f~'(x)>0$ pour $x\in ]2;+\infty[$


    $f(2)=2\times 2-4ln(2)=4-4ln(2)$
  6. Calculer $f~''(x)$ et en déduire la convexité de $f$.

    Signe de la dérivée seconde


    Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
    si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
    si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave
    On a $f~'(x)=\dfrac{2x-4}{x}$
    On pose $u(x)=2x-4$ et $v(x)=x$
    $f~'(x)=\dfrac{2x-4}{x}$
    On pose $u(x)=2x-4$ et $v(x)=x$
    et on a $u'(x)=2$ et $v'(x)=1$
    $f~'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

    $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{2x-(2x-4)\times 1}{x^2}$ au signe $-$ devant la parenthèse

    $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{2x-2x+4}{x^2}$

    $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{4}{x^2}$
    $x^2>0$ donc $f~''(x)$ est du signe de son numérateur
    donc $f~''(x)>0$


    Le résultat semble cohérent avec le tracé de $C_f$ donné, la courbe est au-dessus de ses tangentes.

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