MATHS-LYCEE
Exercice 1 (4 points)
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $I$ dans chacun des cas ci-dessous (on ne demande pas de justifier l'existence de $F$).
- $f(x)=x^2-\dfrac{3}{x}$ sur $]0;+\infty[$
Primitives des fonctions usuelles
$f(x)=x^2-3\times \dfrac{1}{x}$ et il faut donc chercher une primitive de $x^2$ et de $\dfrac{1}{x}$$f(x)=x^2-3\times \dfrac{1}{x}$
donc $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-3ln(x)$
En effet $F'(x)=\dfrac{3x^2}{3}-3\times \dfrac{1}{x}=x^2-\dfrac{3}{x}=f(x)$
- $f(x)=sin(3x)$ sur $\mathbb{R}$.
- $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+2}$
Dérivée de ln(u)
$u$ est définie et dérivable sur $I$ avec $u(x) > 0$
$ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(ln(u))'=(lnou)'=\dfrac{u'}{u}$On peut poser $u(x)=e^x$ donc $u'(x)=e^x$ et on a $f(x)=\dfrac{u'(x)}{(u(x)}$On pose $u(x)=e^x$ donc $u'(x)=e^x$ et on a $f(x)=\dfrac{u'(x)}{(u(x)}$.
$e^x>0$ donc $u(x)>0$ pour tout réel $x$.
$F(x)=ln(e^x+2)$
On a $F'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{e^x}{e^x+2}=f(x)$
Exercice 2 (4 points)
Calculer les intégrales suivantes.
- $I=\int_1^2 x^3ln(x)dx$
Intégration par parties
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[1;b]$.
$\displaystyle \int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$on pose $u'(x)=x^3$ et $v(x)=ln(x)$on pose $u'(x)=x^3$ et $v(x)=ln(x)$
$u(x)=\dfrac{x^4}{4}$ et on a $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
$I=\int_1^2 x^3ln(x)dx$
$=\int_1^2 u'(x)v(x)dx$
$=[u(x)v(x)]_1^2-\int_1^2 u(x)v'(x)dx$
$=[ \dfrac{x^4ln(x)}{4} ]_1^2-\int_1^2 \dfrac{x^4}{4}\times \dfrac{1}{x} dx$
$=\dfrac{2^4ln(2)}{4}-\dfrac{1^4ln(1)}{4}-\int_1^2 \dfrac{x^3}{4} dx$
$=4ln(2)-[\dfrac{x^4}{16}]_1^2 dx$
$=4ln(2)-\left(\dfrac{2^4}{16}-\dfrac{1^4}{16}\right)$
$=4ln(2)-1+\dfrac{1}{16}$
$=4ln(2)-\dfrac{15}{16}$
Penser contrôler avec la calculatrice
Exercice 3 (6 points)
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;+ \infty[$ par $f(x) = 2x + 5e^{-0,2x}$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
- Calculer la valeur exacte du nombre $M= \dfrac{1}{5}\displaystyle\int_0^{5} f(x)dx$, puis donner sa valeur arrondie à l'entier le plus proche.
Que représente $M$ pour la fonction $f$?Intégrale
La fonction $f$ est continue sur $[ab]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$
$\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$Valeur moyenne
$f$ est continue sur $[a;b]$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est $M=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle \int_a^b f(x)dx$Il faut chercher une primitive de $e^{-0,2x}$$f(x) = 2x + 5e^{-0,2x}$
$f$ est continue sur $[1;5]$ donc admet des primitives sur $[1;5]$
$F(x)=x^2+5\times \dfrac{e^{-0,2x}}{-0,2}=x^2-25e^{-0,2x}$
En effet $F'(x)=2x-25\times (-0,2e^{-0,2x})=2x+5e^{-0,2x}=f(x)$
$M=\dfrac{1}{5}\int_0^5 2x + 5e^{-0,2x}dx$
$\phantom{M}=\dfrac{1}{5} \left[x^2-25e^{-0,2x}\right]_0^5$
$\phantom{M}=\dfrac{5^2-25e^{-0,2\times 5}-\left(0^2-25e^{-0,2\times 0} \right)}{5}$
$\phantom{M}=\dfrac{25-25e^{-1}+25}{5}$
$\phantom{M}=10-\dfrac{5}{e}$
penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
$M$ est la valeur moyenne de $f$ sur $[0;5]$. - Représenter un rectangle dont l'aire est égale à $\int_0^5 f(x)dx$.
$\int_0^5 f(x)dx$ est l'aire du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=5$.$f$ est continue et $f(x)>0$ sur $[0;+\infty[$ donc $\int_0^5 f(x) dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=5$.
$M$ est la valeur moyenne de $f$ sur $[0;5]$ donc cette aire est égale à l'aire du rectangle de largeur 5 et hauteur $M$.
- La droite $(d)$ a pour équation $y=2x$.
Tracer $(d)$ dans le repère ci-dessus et étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $(d)$. - Calculer l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aires, du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=5$.
Aire et intégrale
$f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
$\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
Il faut soustraire $\int_0^5 f(x)dx$ et $\int_0^5 2x dx$On pose $h(x)=2x$ définie sur $[0;+\infty[$
$f$ et $h$ sont continues et $f(x)>0$ et $g(x)>0$ sur $[0;5]$.
L'aire $A_1$, en unités d'aires, du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=5$ est $A_1=\int_0^5 f(x)dx$.
L'aire $A_2$, en unités d'aires, du domaine limité par $(d)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=5$ est $A_2=\int_0^5 2xdx$.
On a $\mathcal{C}_f$ au-dessus de $(d)$ donc $\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2$
$\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2=\int_0^5 f(x)dx-\int_0^5 2xdx$
$\phantom{\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2}=\int_0^5 f(x)-2x dx$
$\phantom{\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2}=\int_0^5 2x+5e^{-0,2x}-2x dx$
$\phantom{\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2}=\int_0^5 5e^{-0,2x} dx$
$\phantom{\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2}=5\int_0^5 e^{-0,2x} dx$
$\phantom{\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2}=5[G(x)]_0^5$
$\phantom{\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2}=5(G(5)-G(0))$
$\phantom{\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2}=5\left(-5e^{-0,2\times 5}+5e^{0}\right)$
$\phantom{\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2}=5\left(-5e^{-1}+5\right)$
Exercice 4 (6 points)
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{1 + ln (x)}{x^2}$ et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.
La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous :
- On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+ \infty[$.
Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+ \infty[$, $f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}$.Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=1+ln(x)$ et $v(x)=x^2$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$On pose $u(x)=1+ln(x)$ et $v(x)=x^2$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$.
$u'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $v'(x)=2x$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2-ln(x)\times 2x}{(x^2)^2}$
$·\phantom{f'(x)}=\dfrac{x-2xln(x)}{(x^2)^2}$
$·\phantom{f'(x)}=\dfrac{x(1-2ln(x))}{x^4}$
$·\phantom{f'(x)}=\dfrac{1-2ln(x)}{x^3}$
- Résoudre sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ l'inéquation $-1 - 2ln (x) > 0$.
En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0;+ \infty[$.Equations et inéquations avec ln
La fonction $ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs on a:
$ln(a)=ln(b)\Longleftrightarrow a =b$
$ln(a) < ln(b) \Longleftrightarrow a < b$On a $ln\left(e^{\dfrac{-1}{2}}\right)=-\dfrac{1}{2}$$-1 - 2ln (x) > 0\Longleftrightarrow -2ln(x)>1$
$\phantom{-1 - 2ln (x) > 0} \Longleftrightarrow ln(x) < \dfrac{-1}{2}$
$\phantom{-1 - 2ln (x) > 0} \Longleftrightarrow ln(x) < ln \left(e^{\dfrac{-1}{2}}\right)$
$\phantom{-1 - 2ln (x) > 0} \Longleftrightarrow x < e^{\dfrac{-1}{2}}$
- En déduire les variations de $f$.
- $A$ est le point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de l'axe des abscisses.
Calculer l'abscisse de $A$. - Vérifier que $f(x)\geq 0$ sur $\left[\dfrac{1}{e};+\infty\right[$
- Pour tout entier $n \geq 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{e}$ et $x = n$.
- Montrer que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+ \infty[$.
Primitive d'une fonction
$F$ définie et dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$.
Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives.
Par exemple $F(x)=x^2$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$Il faut calculer $F'(x)$On pose $w(x)=-2-ln(x)$ et $t(x)=x$ et on a $F(x)=\dfrac{w(x)}{t(x)}$
$w$ et $t$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$
$w'(x)=-\dfrac{1}{x}$ et $t'(x)=1$
$F'(x)=\dfrac{w'(x)t(x)-w(x)t'(x)}{(t(x))^2}$
$\phantom{F'(x)}=\dfrac{-\dfrac{1}{x}\times x-(-2-ln(x))\times 1}{x^2}$
$\phantom{F'(x)}=\dfrac{-1+2+ln(x)}{x^2}$
$\phantom{F'(x)}=\dfrac{1+ln(x)}{x^2}$
$\phantom{F'(x)}=f(x)$
- Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$.
On a $f$ continue et positive sur $[x_A;+\infty[$$f$ est continue et $f(x)\geq 0$ sur $\left[\dfrac{1}{e};+\infty\right[$
donc l'aire $I_{n}$, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{e}$ et $x = n$ est $\int_{\frac{1}{e}}^n f(x)dx$.
$F(n) = \dfrac{- 2 - ln (n)}{n}$
$F\left(\frac{1}{e}\right) = \dfrac{- 2 - ln\left(\frac{1}{e}\right)}{\dfrac{1}{e}}= (- 2 +1)\times e=e$ car $ln\left(\frac{1}{e}\right)=-ln(e)=-1$
$I_n= \int_{\frac{1}{e}}^n f(x)dx=[F(x)]_{\frac{1}{e}}^n=F(n)-F\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{- 2 - ln (n)}{n}-e$·
- Étudier la limite de $I_{n}$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
$I_n=\dfrac{- 2 - ln (n)}{n}-e=\dfrac{-2}{n}-\dfrac{ln(n)}{n}-e$$I_n=\dfrac{- 2 - ln (n)}{n}-e=\dfrac{-2}{n}-\dfrac{ln(n)}{n}-e$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{-2}{n}=0$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{-ln(n)}{n}=0$
Graphiquement, cela signifie que l'aire du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x=\dfrac{1}{e}$ avec $x \geq \dfrac{1}{e}$ est tend vers $e$ unités d'aires.
Contrôler avec la calculatrice en prenant $n=1000$
- Montrer que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+ \infty[$.
Fiche méthode
Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Calculs d'intégrales
- intégrales avec les fonctions usuelles
- intégration par parties
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