Le conjugué de $-3+12i$ est $-3-12i$

$\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}=\dfrac{\overline{3-4i}}{\overline{2-i}}$
$\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=\dfrac{3+4i}{2+i}$
$\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=\dfrac{(3+4i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$
$\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=\dfrac{6-3i+8i-4i^2}{4+1}$ (rappel: $(2+i)(2-i)=2^2-(i)^2=4+1$)
$\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=\dfrac{6+5i+4}{5}$
$\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=\dfrac{10+5i}{5}$
$\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=2+i$
$\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}=2+i$
Remarque
On peut aussi déterminer la forme algébrique de $\dfrac{3-4i}{2-i}$ puis prendre son conjugué

$\overline{\dfrac{1}{4-i}}=\dfrac{1}{\overline{4-i}}$
$\phantom{\overline{\dfrac{1}{4-i}}}=\dfrac{1}{4+i}$
$\phantom{\overline{\dfrac{1}{4-i}}}=\dfrac{4-i}{(4+i)(4-i)}$
$\phantom{\overline{\dfrac{1}{4-i}}}=\dfrac{4-i}{16+1}$
$\phantom{\overline{\dfrac{1}{4-i}}}=\dfrac{4-i}{17}$
$\overline{\dfrac{1}{4-i}}=\dfrac{4-i}{17}=\dfrac{4}{17}-i\dfrac{1}{17}$

$P(2)=2^3-4\times 2^2+8\times 2-8=8-16+16-8=0$
donc $z=2$ est une racine de $P$.
On peut alors factoriser par $z-2$ et écrire $P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)$
$P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)=az^3+bz^2+cz-2az^2-2bz-2c=az^3+(b-2a)z^2+(c-2b)z-2c$
Pour tout réel $z$, on a donc $az^3+(b-2a)z^2+(c-2b)z-2c=z^3-4z^2+8z-8$
Par identification des coefficients, on a donc:
$a=1$ (coefficient de $z^3$)
$b-2a=-4$ soit $b-2=-4$ donc $b=-2$ (coefficient de $z^2$)
et $c-2b=8$ soit $c+4=8$ donc $c=4$ (coefficient de $z$)
On peut vérifier que $-2c=-8$: $c=4$ donc $-2c=-2\times 4=-8$
donc $P(z)=(z-2)(z^2-2z+4)$
Remarque
On a bien $(z-2)(z^2-2z+4)=z^3-2z^2+4z-2z^2+4z-8=z^3-4z^2+8z-8$
Avec la division de polynômes (hors programme):

$P(z)=0\Longleftrightarrow z-2=0$ ou $z^2-2z+4=0$
- solutions de $z^2-2z+4=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1\times 4=4-16=-12$
$\Delta<0$ donc il y a deux solutions complexes conjuguées
$-12=(i\sqrt{12})^2=(2i\sqrt{3})^2$
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2 +2i\sqrt{3} }{ 2 }=1+i\sqrt{3}$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2 -2i\sqrt{3} }{ 2 }=1-i\sqrt{3}$
$S=\lbrace 2;1-i\sqrt{3};1+i\sqrt{3}\rbrace$
Remarque
Penser à contrôler les racines avec la calculatrice (MENU EQU puis saisir les coefficients $a$, $b$ et $c$)

$6-4i=3z+i\Longleftrightarrow 3z=6-5i$
$\phantom{6-4i=3z+i}\Longleftrightarrow z=\dfrac{6-5i}{3}$
$S=\left\lbrace \dfrac{6-5i}{3}\right \rbrace$

On peut poser $z=a+ib$ et on a $\overline{z}=a-ib$
$(2+i)\overline{z}=z\Longleftrightarrow (2+i)(a-ib)=a+ib$
$\phantom{(2+i)\overline{z}=z}\Longleftrightarrow 2a+ia-2ib-i^2b=a+ib$
$\phantom{(2+i)\overline{z}=z}\Longleftrightarrow 2a+ia-2ib+b=a+ib$
$\phantom{(2+i)\overline{z}=z}\Longleftrightarrow 2a+ia-2ib+b-a-ib=0$
$\phantom{(2+i)\overline{z}=z}\Longleftrightarrow a+b+i(a-3b)=0$
Il faut résoudre le système $\begin{cases} a+b=0\\ a-3b=0 \end{cases}$
$\phantom{\Longleftrightarrow}\begin{cases} a+b=0\\ a-3b=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} b=-a\\ a+3a=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} b=0\\ a=0 \end{cases}$
$S=\lbrace 0 \rbrace$

$iz-2i=(2-2i)z+1\Longleftrightarrow iz-2i=2z-2iz+1$
$\phantom{iz-2i=(2-2i)z+1}\Longleftrightarrow iz-2z+2iz=1+2i$
$\phantom{iz-2i=(2-2i)z+1}\Longleftrightarrow -2z+3iz=1+2i$
$\phantom{iz-2i=(2-2i)z+1}\Longleftrightarrow (-2+3i)z=1+2i$
$\phantom{iz-2i=(2-2i)z+1}\Longleftrightarrow z=\dfrac{1+2i}{-2+3i}$
Ecriture sous forme algébrique
$z=\dfrac{(1+2i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)}$
$\phantom{z}=\dfrac{-2-3i-4i-6i^2}{4+9}$
$\phantom{z}=\dfrac{-2-7i+6}{4+9}$
$\phantom{z}=\dfrac{4-7i}{13}$
$S=\left \lbrace \dfrac{4-7i}{13}\right \rbrace$

$\dfrac{1+iz}{z+i}=1+i\Longleftrightarrow 1+iz=(1+i)(z+i)$
$\phantom{\dfrac{1+iz}{z+i}=1+i}\Longleftrightarrow 1+iz=z+i+iz-1$
$\phantom{\dfrac{1+iz}{z+i}=1+i}\Longleftrightarrow -z=-2+i$
$\phantom{\dfrac{1+iz}{z+i}=1+i}\Longleftrightarrow z=2-i$
$S=\lbrace 2-i \rbrace$

On pose $Z=z^2$ et on doit résoudre $Z^2=1$
$Z^2=1 \Longleftrightarrow Z=1$ et $Z=-1$
On doit donc résoudre $z^2=1$ d'une part et $z^2=-1$ d'autre part.
$z^2=1 \Longleftrightarrow z=1$ ou $z=-1$
$z^2=-1 \Longleftrightarrow z=i$ ou $z=-i$
$S=\lbrace i;-i;1;-1\rbrace$

On pose $z=a+ib$ et on a $\overline{z}=a-ib$
$\phantom{\Longleftrightarrow}z^2+2\overline{z}=1$
$\Longleftrightarrow (a+ib)^2+2(a-ib)=1$
$\Longleftrightarrow a^2+2iab-b^2+2a-2ib=1$
$\Longleftrightarrow a^2+2a-b^2+2ib(a-1)=1$
Les parties réelles $a^2+2a-b^2$ et imaginaires $2b(a-1)$ doivent être égales à $Re(1)=1$ et $Im(1)=0$
$b(a-1)=0\Longleftrightarrow b=0$ ou $a=1$
Si $b=0$: $a^2+2a-b^2=1\Longleftrightarrow a^2+2a-1=0$
$a$ est un réel puisque $a=Re(z)$ donc on résout $a^2+2a-1=0$ dans $\mathbb{R}$:
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times 1\times (-1)=8 $
$\Delta>0$ donc il y a deux racines réelles
$a_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2 +\sqrt{8} }{ 2 }=\dfrac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}$
et $a_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{8} }{ 2 }=-1-\sqrt{2}$
Si $a=1$: $a^2+2a-b^2=1 \Longleftrightarrow 1+2-b^2=1 \Longleftrightarrow b^2=2 \Longleftrightarrow b=\sqrt{2}$ ou $b=-\sqrt{2}$
donc $S=\lbrace 1+i\sqrt{2}; 1-i\sqrt{2};-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\rbrace$

Le point $C$ a pour affixe $z_C=-2i$ soit $C(0;-2)$ et le point $M$ a pour affixe $z$.
On a alors $\left|z+2i\right|=\left|z-z_C\right|=CM$
$\left|z+2i\right|=3\Longleftrightarrow CM=3$
donc $M$ appartient au cercle de centre $C$ et rayon 3.

Le points $A$ a pour affixe $z_A=2i$ soit $A(0;2)$ et le point $B$ a pour affixe $z_B=-4$ soit $B(-4;0)$ et le point $M$ a pour affixe $z$.
$\left|z-2i\right|=\left|z-z_A\right|=AM$
$\left|z+4\right|=\left|z-z_B\right|=BM$
$\left|z-2i\right|=\left|z+4\right|\Longleftrightarrow AM=BM$
donc $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$
voir droite (en bleu) sur la figure de la question 2

$u_0=|z_0|=|2+2i|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$u_0=2\sqrt{2}$

Pour tout entier naturel $n$ on a:
$u_{n+1}= |z_{n+1}|$
$\phantom{u_{n+1}} = \left|\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}z_n\right|$
$\phantom{u_{n+1}}=\left|\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}\right||z_n|$
$\phantom{u_{n+1}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}|z_n|$
$\phantom{u_{n+1}}=\sqrt{\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}}|z_n|$
$\phantom{u_{n+1}}=\sqrt{\dfrac{4}{16}}u_n$
$\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}u_n$
donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.

$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $u_0=2\sqrt{2}$
donc $u_n=u_0q^n=2\sqrt{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
$u_n=\dfrac{2\sqrt{2}}{2^n}$

La raison de la suite $(u_n)$ est $q=\dfrac{1}{2}$ donc $q\in ]-1;1[$
donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=0$. Remarque
On peut aussi utiliser $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2^n=+\infty$
donc par quotient $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=0$

$\left|\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}\right|=\dfrac{1}{2}$ (question 2)
$\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Si on note $\theta=arg\left(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4} \right)$ ($2\pi$), on a:
$\begin{cases}cos(\theta)=\dfrac{1}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \end{cases}$ donc $\theta=\dfrac{-\pi}{3}$ ($2\pi$)
donc $\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{2}e^{-i\frac{\pi}{3}}$

$A_0(2;2)$ et $u_0=|z_0|=2\sqrt{2}$ donc $u_1=OA_1=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$z_{1} = \dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}z_0$ donc $\dfrac{z_1}{z_0}=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}$
$(\overrightarrow{OA_0};\overrightarrow{OA_1})=arg\left(\dfrac{z_{1}}{z_0}\right)=arg\left(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}\right)=\dfrac{-\pi}{3}$ ($2\pi$)
donc $A_1$ appartient au cercle de centre O et rayon $\sqrt{2}$ et l'angle $(\overrightarrow{OA_1};\overrightarrow{OA_2})=\dfrac{-\pi}{3}$ ($2\pi$)
De même, $A_2$ appartient au cercle de centre O et rayon $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et l'angle $(\overrightarrow{OA_2};\overrightarrow{OA_1})=\dfrac{-\pi}{3}$ ($2\pi$)