Exercice 1 (3 points)
Écrire les conjugués des nombres suivants (sous forme algébrique)
  1. $-3+12i$

    conjugué d'un complexe


    Soit $z=a+ib$ un complexe avec $a$ et $b$ réels.
    Le conjugué de $z$ noté $\overline{z}$ est le compexe $\overline{z}=a-ib$
  2. $\dfrac{3-4i}{2-i}$

    conjugué d'une somme, d'un produit ou d'un quotient


    soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes.
    $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
    $\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$
    Si $z'\neq 0$, on a $\overline{\left(\dfrac{1}{z'}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z'}}$
    et $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$
    Attention, on demande la forme algébrique
    $\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}=\dfrac{\overline{3-4i}}{\overline{2-i}}$
    $\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=\dfrac{3+4i}{2+i}$
    $\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=\dfrac{(3+4i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$
    $\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=\dfrac{6-3i+8i-4i^2}{4+1}$ (rappel: $(2+i)(2-i)=2^2-(i)^2=4+1$)
    $\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=\dfrac{6+5i+4}{5}$
    $\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=\dfrac{10+5i}{5}$
    $\phantom{\overline{\dfrac{3-4i}{2-i}}}=2+i$


    On peut aussi déterminer la forme algébrique de $\dfrac{3-4i}{2-i}$ puis prendre son conjugué
  3. $\dfrac{1}{4-i}$
    $\overline{\dfrac{1}{4-i}}=\dfrac{1}{\overline{4-i}}$
    $\phantom{\overline{\dfrac{1}{4-i}}}=\dfrac{1}{4+i}$
    $\phantom{\overline{\dfrac{1}{4-i}}}=\dfrac{4-i}{(4+i)(4-i)}$
    $\phantom{\overline{\dfrac{1}{4-i}}}=\dfrac{4-i}{16+1}$
    $\phantom{\overline{\dfrac{1}{4-i}}}=\dfrac{4-i}{17}$
  4. $\dfrac{(3-2i)(5+i)}{3i(7+2i)}$
Exercice 2 (5 points)
Soit $P(z)$ défini par $P(z)=z^3-4z^2+8z-8$ pour tout $z$ complexe.
  1. Calculer $P(2)$, en déduire une factorisation de $P(z)$ .
    Si 2 est une racine du polynôme alors on peut factoriser par $z-2$
    On peut alors écrire $P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)$ développer et identifier les coefficients
    $P(2)=2^3-4\times 2^2+8\times 2-8=8-16+16-8=0$
    donc $z=2$ est une racine de $P$.
    On peut alors factoriser par $z-2$ et écrire $P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)$
    $P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)=az^3+bz^2+cz-2az^2-2bz-2c=az^3+(b-2a)z^2+(c-2b)z-2c$
    Pour tout réel $z$, on a donc $az^3+(b-2a)z^2+(c-2b)z-2c=z^3-4z^2+8z-8$
    Par identification des coefficients, on a donc:
    $a=1$ (coefficient de $z^3$)
    $b-2a=-4$ soit $b-2=-4$ donc $b=-2$ (coefficient de $z^2$)
    et $c-2b=8$ soit $c+4=8$ donc $c=4$ (coefficient de $z$)
    On peut vérifier que $-2c=-8$: $c=4$ donc $-2c=-2\times 4=-8$


    On a bien $(z-2)(z^2-2z+4)=z^3-2z^2+4z-2z^2+4z-8=z^3-4z^2+8z-8$
    Avec la division de polynômes (hors programme):
  2. Résoudre dans $\mathbb{C}$, $P(z)=0 $ (on donnera l'ensemble des solutions sous leurs formes algébriques).

    Équation du second degré


    $a$ est un réel.
    L'équation $z^2=a$
    - admet deux solutions réelles si $a>0$
    Ces solutions sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
    - admet deux solutions complexes imaginaires pures si $a<0$
    Ces solutions sont $i\sqrt{a}$ et $-i\sqrt{a}$.
    On doit donc utiliser la forme factorisé et résoudre $z^2-2z+4$
    $P(z)=0\Longleftrightarrow z-2=0$ ou $z^2-2z+4=0$
    - solutions de $z^2-2z+4=0$
    $\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1\times 4=4-16=-12$
    $\Delta<0$ donc il y a deux solutions complexes conjuguées
    $-12=(i\sqrt{12})^2=(2i\sqrt{3})^2$
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2 +2i\sqrt{3} }{ 2 }=1+i\sqrt{3}$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2 -2i\sqrt{3} }{ 2 }=1-i\sqrt{3}$


    Penser à contrôler les racines avec la calculatrice (MENU EQU puis saisir les coefficients $a$, $b$ et $c$)
  3. Donner la forme trigonométrique de chacune des solutions précédentes.
  4. Placer dans un repère d'unité 1 cm les points correspondants aux solutions de $P(z)=0 $ .
Exercice 3 (6 points)
Résoudre dans $\mathbb{C}$ (on donnera l'ensemble des solutions sous leurs formes algébriques).
  1. $6-4i=3z+i$
    $6-4i=3z+i\Longleftrightarrow 3z=6-5i$
    $\phantom{6-4i=3z+i}\Longleftrightarrow z=\dfrac{6-5i}{3}$
  2. $(2+i)\overline{z}=z$
    On peut poser $z=x+iy$
    On peut poser $z=a+ib$ et on a $\overline{z}=a-ib$
    $(2+i)\overline{z}=z\Longleftrightarrow (2+i)(a-ib)=a+ib$
    $\phantom{(2+i)\overline{z}=z}\Longleftrightarrow 2a+ia-2ib-i^2b=a+ib$
    $\phantom{(2+i)\overline{z}=z}\Longleftrightarrow 2a+ia-2ib+b=a+ib$
    $\phantom{(2+i)\overline{z}=z}\Longleftrightarrow 2a+ia-2ib+b-a-ib=0$
    $\phantom{(2+i)\overline{z}=z}\Longleftrightarrow a+b+i(a-3b)=0$
    Il faut résoudre le système $\begin{cases} a+b=0\\ a-3b=0 \end{cases}$
    $\phantom{\Longleftrightarrow}\begin{cases} a+b=0\\ a-3b=0 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} b=-a\\ a+3a=0 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} b=0\\ a=0 \end{cases}$
  3. $iz-2i=(2-2i)z+1$
    $iz-2i=(2-2i)z+1\Longleftrightarrow iz-2i=2z-2iz+1$
    $\phantom{iz-2i=(2-2i)z+1}\Longleftrightarrow iz-2z+2iz=1+2i$
    $\phantom{iz-2i=(2-2i)z+1}\Longleftrightarrow -2z+3iz=1+2i$
    $\phantom{iz-2i=(2-2i)z+1}\Longleftrightarrow (-2+3i)z=1+2i$
    $\phantom{iz-2i=(2-2i)z+1}\Longleftrightarrow z=\dfrac{1+2i}{-2+3i}$
    Ecriture sous forme algébrique
    $z=\dfrac{(1+2i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)}$
    $\phantom{z}=\dfrac{-2-3i-4i-6i^2}{4+9}$
    $\phantom{z}=\dfrac{-2-7i+6}{4+9}$
    $\phantom{z}=\dfrac{4-7i}{13}$
  4. $\dfrac{1+iz}{z+i}=1+i$
    $\dfrac{1+iz}{z+i}=1+i\Longleftrightarrow 1+iz=(1+i)(z+i)$
    $\phantom{\dfrac{1+iz}{z+i}=1+i}\Longleftrightarrow 1+iz=z+i+iz-1$
    $\phantom{\dfrac{1+iz}{z+i}=1+i}\Longleftrightarrow -z=-2+i$
    $\phantom{\dfrac{1+iz}{z+i}=1+i}\Longleftrightarrow z=2-i$
  5. $z^4=1$
    On peut poser $Z=z^2$
    On pose $Z=z^2$ et on doit résoudre $Z^2=1$
    $Z^2=1 \Longleftrightarrow Z=1$ et $Z=-1$
    On doit donc résoudre $z^2=1$ d'une part et $z^2=-1$ d'autre part.
    $z^2=1 \Longleftrightarrow z=1$ ou $z=-1$
    $z^2=-1 \Longleftrightarrow z=i$ ou $z=-i$
  6. $z^2+2\overline{z}=1$
    On pose $z=a+ib$
    On pose $z=a+ib$ et on a $\overline{z}=a-ib$
    $\phantom{\Longleftrightarrow}z^2+2\overline{z}=1$
    $\Longleftrightarrow (a+ib)^2+2(a-ib)=1$
    $\Longleftrightarrow a^2+2iab-b^2+2a-2ib=1$
    $\Longleftrightarrow a^2+2a-b^2+2ib(a-1)=1$
    Les parties réelles $a^2+2a-b^2$ et imaginaires $2b(a-1)$ doivent être égales à $Re(1)=1$ et $Im(1)=0$
    $b(a-1)=0\Longleftrightarrow b=0$ ou $a=1$
    Si $b=0$: $a^2+2a-b^2=1\Longleftrightarrow a^2+2a-1=0$
    $a$ est un réel puisque $a=Re(z)$ donc on résout $a^2+2a-1=0$ dans $\mathbb{R}$:
    $\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times 1\times (-1)=8 $
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines réelles
    $a_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2 +\sqrt{8} }{ 2 }=\dfrac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}$
    et $a_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{8} }{ 2 }=-1-\sqrt{2}$
    Si $a=1$: $a^2+2a-b^2=1 \Longleftrightarrow 1+2-b^2=1 \Longleftrightarrow b^2=2 \Longleftrightarrow b=\sqrt{2}$ ou $b=-\sqrt{2}$
\begin{exo} [2] Montrer que pour tout complexe $z$ non nul on a: $\overline{(z+\dfrac{1}{z})}-\dfrac{\overline{1+z}}{\bar{z}}=\bar{z}-1$ \end {exo}
Exercice 4 (2 points)
Déterminer puis construire, dans un repère d'unité 2 cm, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant les relations suivantes
  1. $\left|z+2i\right|=3$
    Avec $C$ d'affixe $z_C-2i$, on a $\left|z+2i\right|=\left|z-z_C\right|$
    Le point $C$ a pour affixe $z_C=-2i$ soit $C(0;-2)$ et le point $M$ a pour affixe $z$.
    On a alors $\left|z+2i\right|=\left|z-z_C\right|=CM$
    $\left|z+2i\right|=3\Longleftrightarrow CM=3$

  2. $\left|z-2i\right|=\left|z+4\right|$
    on peut utiliser le point $A$ d'affixe $z_A=2i$ et le point $B$ d'affixe $z_B=-4$ et si $M$ a pour affixe $z$ on a alors $AM=BM$
    Le points $A$ a pour affixe $z_A=2i$ soit $A(0;2)$ et le point $B$ a pour affixe $z_B=-4$ soit $B(-4;0)$ et le point $M$ a pour affixe $z$.
    $\left|z-2i\right|=\left|z-z_A\right|=AM$
    $\left|z+4\right|=\left|z-z_B\right|=BM$
    $\left|z-2i\right|=\left|z+4\right|\Longleftrightarrow AM=BM$

    voir droite (en bleu) sur la figure de la question 2
Exercice 5 (4 points)
On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=2+2i$ et pour tout entier naturel $n$: $z_{n+1} = \dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}z_n$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.
  1. Calculer $u_0$.
    $u_0=|z_0|=|2+2i|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
  2. Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

    Propriétés des modules


    $z$ et $z'$ sont deux complexes
    $|zz'|=|z||z'|$
    Si $z'\neq 0$, $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$
    Si $z\neq 0$, $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$
    $z\overline{z}=|z|^2$
    On veut montrer que $u_{n+1}=qu_n$
    $u_{n+1}= |z_{n+1}| = \left|\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}z_n\right|=\left|\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}\right||z_n|$
    Pour tout entier naturel $n$ on a:
    $u_{n+1}= |z_{n+1}|$
    $\phantom{u_{n+1}} = \left|\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}z_n\right|$
    $\phantom{u_{n+1}}=\left|\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}\right||z_n|$
    $\phantom{u_{n+1}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}|z_n|$
    $\phantom{u_{n+1}}=\sqrt{\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}}|z_n|$
    $\phantom{u_{n+1}}=\sqrt{\dfrac{4}{16}}u_n$
    $\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}u_n$
  3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $u_0=2\sqrt{2}$
    donc $u_n=u_0q^n=2\sqrt{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
  4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

    Limite de $q^n$ (suite géométrique)


    Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
    Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$;
    La raison est ici $\sqrt{2}>1$ et $u_0>0$
    La raison de la suite $(u_n)$ est $q=\dfrac{1}{2}$ donc $q\in ]-1;1[$

    On peut aussi utiliser $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2^n=+\infty$
    donc par quotient $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=0$
  5. Déterminer la forme trigonométrique de $\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}$.
    $\left|\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}\right|=\dfrac{1}{2}$ (question 2)
    $\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
    Si on note $\theta=arg\left(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4} \right)$ ($2\pi$), on a:
    $\begin{cases}cos(\theta)=\dfrac{1}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \end{cases}$ donc $\theta=\dfrac{-\pi}{3}$ ($2\pi$)
  6. Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ et on note $A_n$ le points d'affixe $z_n$ pour tout entier naturel $n$.
    En utilisant les questions précédentes, construire les points $M_1$ et $M_2$ sans calculer $z_1$ et $z_2$.

    OA_1=\dfrac{OA_0}{2}$ et $(\overrightarrow{OA_1};\overrightarrow{OA_2})=arg\left(\dfrac{z_{n+1}}{z_n}\right)=arg\left(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}\right)$
    $A_0(2;2)$ et $u_0=|z_0|=2\sqrt{2}$ donc $u_1=OA_1=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
    $z_{1} = \dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}z_0$ donc $\dfrac{z_1}{z_0}=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}$
    $(\overrightarrow{OA_0};\overrightarrow{OA_1})=arg\left(\dfrac{z_{1}}{z_0}\right)=arg\left(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4}\right)=\dfrac{-\pi}{3}$ ($2\pi$)
    donc $A_1$ appartient au cercle de centre O et rayon $\sqrt{2}$ et l'angle $(\overrightarrow{OA_1};\overrightarrow{OA_2})=\dfrac{-\pi}{3}$ ($2\pi$)
    De même, $A_2$ appartient au cercle de centre O et rayon $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et l'angle $(\overrightarrow{OA_2};\overrightarrow{OA_1})=\dfrac{-\pi}{3}$ ($2\pi$)

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