Exercice 1 (3 points)
Pour chacun des nombres suivants, préciser, parmi les ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$le plus petit ensemble auquel il appartient :
  1. $a = 3,5$

    Ensembles de nombres et notations


    - Entiers naturels: $\mathbb{N}$
    $\mathbb{N}=\lbrace 0;1;2;3;4...\rbrace$
    Entiers relatifs: $\mathbb{Z}$
    $\mathbb{Z}=\lbrace .......-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4...\rbrace$
    - Nombres décimaux: $\mathbb{D}$
    Ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel c'est à dire dont la partie décimale est finie.
    Nombres rationnels: $\mathbb{Q}$}
    $\mathbb{Q}$ est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ entier relatif et $b$ entier naturel non nul.
    Nombres réels: $\mathbb{R}$}
    Pour le moment, tous les nombres utilisés en seconde...
    remarque
    $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
    Ce qui signifie que $\mathbb{N}$ est contenu (inclus) dans $\mathbb{Z}$ lui-même contenu dans $\mathbb{D}$ lui-même contenu dans $\mathbb{Q}$ lui-même contenu dans $\mathbb{R}$.
    $a=3,5=\dfrac{35}{10}$ (fraction décimale)
  2. $b =\dfrac{21}{3}$
    Simplifier avant de répondre!
    $b=\dfrac{21}{3}=7$
  3. $c=\dfrac{1}{3}$

    Ensembles de nombres et notations


    - Entiers naturels: $\mathbb{N}$
    $\mathbb{N}=\lbrace 0;1;2;3;4...\rbrace$
    Entiers relatifs: $\mathbb{Z}$
    $\mathbb{Z}=\lbrace .......-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4...\rbrace$
    - Nombres décimaux: $\mathbb{D}$
    Ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel c'est à dire dont la partie décimale est finie.
    Nombres rationnels: $\mathbb{Q}$}
    $\mathbb{Q}$ est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ entier relatif et $b$ entier naturel non nul.
    Nombres réels: $\mathbb{R}$}
    Pour le moment, tous les nombres utilisés en seconde...
    remarque
    $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
    Ce qui signifie que $\mathbb{N}$ est contenu (inclus) dans $\mathbb{Z}$ lui-même contenu dans $\mathbb{D}$ lui-même contenu dans $\mathbb{Q}$ lui-même contenu dans $\mathbb{R}$.
    La partie décimnale est-elle finie?
    La division $1\div 3$ est infinie
    donc la partie décimale de $c$ est infinie
  4. $d=\dfrac{2\sqrt{2}-4}{4\sqrt{2}-8}$
    Simplifier l'expression en factorisant au numérateur et au dénominateur
    $d=\dfrac{2\sqrt{2}-4}{4\sqrt{2}-8}$
    $=\dfrac{2(\sqrt{2}-2)}{4(\sqrt{2}-2)}$
    $=\dfrac{2}{4}$
    $=\dfrac{1}{2}$
    $=0,5$
Exercice 2 (4 points)
Compléter dans chaque cas:
  1. $-3 < x < 5$
    $x\in ]....;...[$
    $x$ appartient à l'intervalle .......... de centre $c=...$ et rayon $r=...$

    Notations des intervalles et inégalités


    Liens entre axe gradué, inégalités et notations des intervalles

    $c=\dfrac{-3+5}{2}=1$ et $r=d(1;5)=|5-1|=4$
  2. $x$ appartient à l'intervalle fermé de centre $-3$ et rayon $\dfrac{2}{3}$
    $........\leq x \leq .......$
    $|x-......| \leq .....$

    Inéquation de la forme $|x-a|\leq r$


    Sur un axe gradué, si le point $A$ a pour abscisse $a$ et le point $M$ a pour abscisse $x$, on a $AM=d(a;x)=|x-a|$.
    On veut $AM \leq r$.
    L'ensemble de solution de l'inéquation $|x-a|\leq r$ est l'intervalle de centre $a$ et rayon $r$ soit $S=[a-r;a+r]$.
    Par exemple pour résoudre $|x-2|\leq 3$ on a $a=2$ et $r=3$.

    donc $S=[2-3;2+3]=[-1;5]$
    $-3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{-9}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{-11}{3}$
    $-3+\dfrac{2}{3}=\dfrac{-9}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{-7}{3}$

  3. $|x+2| < 5$
    $x\in ]....;....[$
    $d(x;.....) < ......$
    $|x+2|=|x-(-2)|$
    $|x+2|=|x-(-2)|$
    donc $x$ appartient à l'intervalle ouvert de centre $c=-2$ et de rayon $r=5$
    donc $x\in ]-2-5 ;-2+5[$

Exercice 3 (3 points)
Dans chaque cas, écrire l'intervalle $I$ correspondant à la première inégalité puis l'intervalle $J$ correspondant à la seconde inégalité puis donner $I\cap J$ et $I\cup J$
  1. $x\leq 2$
    $-5 \leq x < 3$

    Notations des intervalles et inégalités


    Liens entre axe gradué, inégalités et notations des intervalles

    Intersection et réunion de deux intervalles


    $I$ et $J$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$
    $I\cap J$ est l'intersection des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$
    $I\cup J$ est la réunion des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ou bien à $J$
    Exemple: $I=[-1;4]$ et $J=]-5;2[$
    alors $I\cap J=[-1;2[$
    et $I\cup J=]-5;4]$
    Remarque: On peut représenter ces deux intervalles sur un axe gradué pour déterminer leur réunion et leur intersection.
    On peut utiliser un axe gradué
    $x\leq 2$

    $-5 \leq x < 3$

    Sur la figure ci-dessous on a représenté $I$ en rouge et $J$ en orange.

  2. $x\geq -2$
    $x < 3$

    Intersection et réunion de deux intervalles


    $I$ et $J$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$
    $I\cap J$ est l'intersection des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$
    $I\cup J$ est la réunion des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ou bien à $J$
    Exemple: $I=[-1;4]$ et $J=]-5;2[$
    alors $I\cap J=[-1;2[$
    et $I\cup J=]-5;4]$
    Remarque: On peut représenter ces deux intervalles sur un axe gradué pour déterminer leur réunion et leur intersection.
    On peut utiliser un axe gradué
    $x\geq -2$

    $x < 3$


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