Exercice 1 (3 points)
Donner la valeur absolue des nombres suivants:
  1. $|-5|$

    Valeur absolue


    Soit $x$ un nombre réel, la valeur absolue de $x$ notée $|x|$ est:
    $|x|=x$ si $x\geq 0$
    $|x|=-x$ si $x < 0$
  2. $|2-\sqrt{2}|$
    Déterminer le signe de $2-\sqrt{2}$
    $2-\sqrt{2}> 0 $ ($\sqrt{2}\approx 1,4$)
  3. $|2-3\pi|$
    Déterminer le signe de $2-3\pi$
    $2-3\pi< 0 $
    donc $|2-3\pi|=-(2-3\pi)=-2+3\pi$
Exercice 2 (4 points)
Les questions suivantes sont indépendantes.
  1. Sur un axe gradué, on donne $A$ d'abscisse $\dfrac{5}{3}$ et $B$ d'abscisse $-3$ .
    Calculer $AB$.

    Distance entre deux réels


    Si les points $A$ et $B$ ont pour abscisses respectives $a$ et $b$ sur un axe gradué, la distance entre les réels $a$ et $b$ est $AB=d(a;b)=|a-b|=|b-a|$.
    Par exemple $d(-2;3)=|3-(-2)|=|3+2|=|5|=5$
    $d(-3;-7)=|-7-(-3)|=|-7+3|=|-4|=4$
    $AB=d\left(\dfrac{5}{3};-3\right)$
    $\phantom{AB}=\left|-3-\dfrac{5}{3}\right|$
    $\phantom{AB}=\left|\dfrac{-9}{3}-\dfrac{5}{3}\right|$
    $\phantom{AB}=\left|\dfrac{-14}{3}\right|$
    $\phantom{AB}=\dfrac{14}{3}$
  2. Résoudre l'équation $|x+2|=3$.

    Équation de la forme $|x-a|=r$


    Si on pose $A$ d'abscisse $a$ et $M$ d'abscisse $x$ alors $AM=|x-a|=r$ avec $r > 0$.

    Les solutions de $|x-a|=r$ ($r >0$) sont donc $x=a-r$ et $x=a+r$.
    Attention, si on a $|x+2|$ alors le point $A$ a pour abscisse $-2$.
    En effet, $d(AM)=|x-(-2)|=|x+2|$ $fcours
    $x+2=x-(-2)$
    On peut utiliser le point $A$ d'abscisse $-2$ et le point $M$ d'abscisse $x$ sur un axe gradué
    $|x+2|=3\Longleftrightarrow x+2=-3$ ou $x+2=3$
    $\phantom{|x+2|=3}\Longleftrightarrow x=-3-2$ ou $x=3-2$
    $\phantom{|x+2|=3}\Longleftrightarrow x=-5$ ou $x=1$


    Sur un axe gradué, on peut aussi utiliser le point $A$ d'abscisse $-2$ et le point $M$ d'abscisse $x$.
    On a alors $AM=d(-2;x)=|x-(-2)|=|x+2|$
    et on veut $AM=3$ donc $x=-2-3=-5$ ou $x=-2+3=1$
  3. Résoudre $|x|>3$
    Sur un axe gradué d'origine $O$, si le point $M$ a pour abscisse $x$ alors alors $OM=d(x;0)=|x|$ et on veut $OM > 3$
    Sur un axe gradué d'origine $O$, si le point $M$ a pour abscisse $x$ alors alors $OM=d(x;0)=|x|$ et on veut $OM > 3$.

  4. Déterminer le centre et le rayon de l'intervalle $\left[-\dfrac{5}{2};\dfrac{-1}{2}\right]$.

    Déterminer le centre et le rayon d'un intervalle


    L'intervalle $I=[\alpha;\beta]$ avec $\alpha < \beta$. Le centre de $I$ est $a=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ (milieu du segment formé des points d'abscisses $\alpha$ et $\beta$)
    Le rayon est $r=\dfrac{|\beta-\alpha|}{2}=|\beta-a|$.
    On a alors $I=[a-r;a+r]$.
    $c=\dfrac{\dfrac{-5}{2}+\dfrac{-1}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{-6}{2}}{2}=\dfrac{-3}{2}$
    $r=d\left(\dfrac{-3}{2};\dfrac{-1}{2}\right)$
    $=\left|\dfrac{-1}{2}-\dfrac{-3}{2}\right|$
    $=\left|\dfrac{2}{2}\right|$
    $=|1|$
    $=1$
Exercice 3 (3 points)
Résoudre les inéquations suivantes:
  1. $|x-4|\leq 2$

    Inéquation de la forme $|x-a|\leq r$


    Sur un axe gradué, si le point $A$ a pour abscisse $a$ et le point $M$ a pour abscisse $x$, on a $AM=d(a;x)=|x-a|$.
    On veut $AM \leq r$.
    L'ensemble de solution de l'inéquation $|x-a|\leq r$ est l'intervalle de centre $a$ et rayon $r$ soit $S=[a-r;a+r]$.
    Par exemple pour résoudre $|x-2|\leq 3$ on a $a=2$ et $r=3$.

    donc $S=[2-3;2+3]=[-1;5]$
    Sur un axe gradué, on peut utiliser le point $A $ d'abscisse $4$ et le point $M$ d'abscisse $x$ et on a $AM=d(4;x)=|x-4|$
    Méthode 1: avec les distances
    Sur un axe gradué, on considère le point $A $ d'abscisse $4$ et le point $M$ d'abscisse $x$ et on a $AM=d(4;x)=|x-4|$
    et on veut $AM\leq 2$
    donc $ 4-2 \leq x \leq 4+2$
    soit $x\in [2;6]$

    Méthode 2: intervalle centré
    $|x-4|\leq 2$ donc $c=4$ et $r=2$
    donc $x\in [4-2;4+2]$

    Méthode 3: résolution par le calcul
    $|x-4|\leq 2 \Longleftrightarrow -2\leq x-4 \leq 2$
    $\phantom{|x-4|\leq 2} \Longleftrightarrow -2+4\leq x-4+4 \leq 2+4$
    $\phantom{|x-4|\leq 2} \Longleftrightarrow 2\leq x \leq 6$
  2. $|x+\sqrt{2}|< 1$
    On peut utiliser un intervalle centré pour donner l'ensemble de solution
    $|x+\sqrt{2}|=|x-(-\sqrt{2})|$
    $|x+\sqrt{2}|=|x-(-\sqrt{2})|$
    donc $x$ appartient donc à l'intervalle ouvert de centre $-\sqrt{2}$ et rayon $1$
    soit $x\in ]-\sqrt{2}-1;-\sqrt{2}+1[$
  3. $|x-2|<-2$
    rappel: une vcaleur absolue est toujours positive
    Pour tout réel $x$ on a $|x-2|\geq 0$
    donc cette inéquation n'admet aucune solution

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Résolution d'équations et d'inéquations avec valeur absolue

- équations de la forme $|x-a|=r$ avec $r > 0$
inéquations de la forme $|x-a|\leq r$
- distances sur un axe gradué


infos: | 10-15mn |

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