Exercice 1 (6 points)
Résoudre les équations suivantes:
- $(x-2)(x+1)=0$
Produit de facteurs nul
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
$a \times b=0 \Longleftrightarrow a=0$ ou $b=0$
On a $x-2=0$ ou $x+1=0$$(x-2)(x+1)=0$
$\Longleftrightarrow x-2=0$ ou $x+1=0$
$\Longleftrightarrow x=2$ ou $x=-1$
- $(x-2)^2-9=0$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
on peut factoriser avec la troisième identité remarquable avec $a=x-2$ et $b=3$$(x-2)^2-9=0$
$\Longleftrightarrow (x-2)^2-3^2=0$
$\Longleftrightarrow (x-2-3)(x-2+3)=0$ (troisième identité remarquable avec $a=x-2$ et $b=3$)
$\Longleftrightarrow (x-5)(x+1)=0$
$\Longleftrightarrow x-5=0$ ou $x+1=0$
$\Longleftrightarrow x=5$ ou $x=-1$
- $(x+1)(x-3)=x-3$
- $\dfrac{2}{x-1}=3$
Quotients égaux
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Longleftrightarrow ac=bd$ (avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$)chercher d'abord la valeur interdite avant de résoudre
Les produits en croix sont égauxIl faut que le dénominateur soit différent de $0$
donc $x-1\neq 0$ soit $x\neq 1$.
On résout donc cette équation sur $D=\mathbb{R}\setminus \lbrace 1 \rbrace$.
$\dfrac{2}{x-1}=3$
$\Longleftrightarrow 2=3(x-1)$
$\Longleftrightarrow 2=3x-3$
$\Longleftrightarrow -3x=-2-3$
$\Longleftrightarrow -3x=-5$
$\Longleftrightarrow x=\dfrac{-5}{-3}$
$\Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{3}$
On a bien $\dfrac{5}{3}\neq 1$ donc $\dfrac{5}{3}\in D$
Exercice 2 (4 points)
- $-2$ est-il une solution de l'équation $2x^2-8x-8=0$?
Solution d'une équation
$\alpha$ est une solution d'une équation si l'égalité est vérifiée quand on remplace l'inconnue par la valeur de $\alpha$.
Par exemple $-2$ est une solution de l'équation $3x^2+4x-4=0$.
En effet, en remplaçant $x$ par la valeur $-2$, on a: $3\times (-2)^2+4\times (-2)-4=12-8-4=0$On a $(-2)^2=4$ mais $-2^2=-4$Il faut calculer $2x^2-8x-8$ pour la valeur $x=-2$.
$2\times (-2)^2-8\times (-2)-8=8+16-8=16\neq 0$
- Montrer que pour tout réel $x$ on a $2x^2-8x-8=2\left[(x-2)^2-8\right]$.
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On peut développer et simplifier $2\left[(x-2)^2-8\right]$$2\left[(x-2)^2-8\right]$
$=2\left[x^2-4x+4-8\right]$
$=2\left[x^2-4x-4\right]$
$=2x^2-2\times 4x-2\times 4$
$=2x^2-8x-8$
- En déduire les solutions de l'équation $2x^2-8x-8=0$
On peut résoudre $2\left[(x-2)^2-8\right]=0$$2x^2-8x-8=0$
$\Longleftrightarrow 2\left[(x-2)^2-8\right]=0$
$\Longleftrightarrow (x-2)^2-8=0$
$\Longleftrightarrow (x-2)^2-\sqrt{8}^2=0$
$\Longleftrightarrow (x-2-\sqrt{8})(x-2+\sqrt{8})=0$
$\Longleftrightarrow x-2-\sqrt{8}=0$ ou $x-2+\sqrt{8}=0$
$\Longleftrightarrow x=2+\sqrt{8}$ ou $x=2-\sqrt{8}$
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