MATHS-LYCEE
Exercice 1 (7,5 points)
Dans un repère orthonormé (donné ci-dessous), on donne la droite $(d)$ d'équation $2x-3y+6=0$, le point $A(1;7)$ et le vecteur $\overrightarrow{v}(2;-3)$.
- Dans ce repère \textbf{(annexe exercice 1)}, tracer $(d)$, placer $A$ et construire $\overrightarrow{v}$.
Tracer une droite
Pour tracer une droite donnée par une équation cartésienne, on peut:
1. choisir deux valeurs de $x$ et calculer l'ordonnée correspondante avec l'équation de $(d)$ et placer les deux points obtenus
2. utiliser un vecteur directeur de $(d)$ et calculer l'ordonnée d'un point de $(d)$ en choisissant une valeur de $x$Pour tracer une droite, il faut chercher les coordonnées de deux points de cette droitePour tracer $(d)$ on peut chercher son équation réduite:
$2x-3y+6=0\Longleftrightarrow y=\dfrac{2x+6}{3}=\dfrac{2}{3}x+2$
Si $x=0$ on a alors $y=2$ et si $x=3$, on a $y=\dfrac{2}{3}\times 3+2=4$
Les points de coordonnées $(0;2)$ et $(3;4)$ appartiennent à $(d)$.
On peut aussi déterminer deux points avec une équation cartésienne:
Si $x=0$, $2\times 0-3y+6=0\Longleftrightarrow 3y=6\Longleftrightarrow y=2$
Si $y=0$, $2x-3\times 0+6=0 \Longleftrightarrow 2x=-6 \Longleftrightarrow x=-3$
Les points de coordonnées $(0;2)$ et $(-3;0)$ appartiennent à $(d)$.
Voir figure en fin d'exercice - Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de $(d)$.
Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}(1;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
coursSi la droite $(d)$ admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ ($(a;b)\neq (0;0)$), le vecteur $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$
Ici, on a $a=2$ et $b=-3$
- Construire le vecteur $\overrightarrow{w}$ (laisser les traces de la construction) défini par $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{v}$.
Calculer ensuite les coordonnées de $\overrightarrow{w}$.Traduire cette égalité vectorielle avec les abscisses puis les ordonnées des vecteurs$\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{v}$
$~~~~~~\Longleftrightarrow \begin{cases} x_{\overrightarrow{w}}=2x_{\overrightarrow{u}}-\dfrac{1}{2}x_{\overrightarrow{v}} \\ y_{\overrightarrow{w}}=2y_{\overrightarrow{u}}-\dfrac{1}{2}y_{\overrightarrow{v}} \end{cases}$
$~~~~~~\Longleftrightarrow \begin{cases} x_{\overrightarrow{w}}=2\times 3-\dfrac{1}{2}\times 2 \\ y_{\overrightarrow{w}}=2\times 2-\dfrac{1}{2}\times (-3) \end{cases}$
$~~~~~~\Longleftrightarrow \begin{cases} x_{\overrightarrow{w}}=5 \\ y_{\overrightarrow{w}}=\dfrac{11}{2} \end{cases}$
- $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont-ils colinéaires?
Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$ cours$x_{\overrightarrow{v}}y_{\overrightarrow{w}}-y_{\overrightarrow{v}}x_{\overrightarrow{w}}=3\times \dfrac{11}{2}-2\times 5= \dfrac{33}{2}-10=\dfrac{13}{2}\neq 0$
- Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d')$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ puis la tracer.
Déterminer une équation cartésienne
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
Méthode 1
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
- $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$
Méthode 2
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
- $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$) coursUn point $M(x;y)$ appartient à la droite $(d')$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires$\overrightarrow{v}(2;-3)$ est un vecteur directeur de $(d')$
donc $(d')$ admet une équation de la forme $-3x-2y+c=0$
$A\in (d')$
$~~~~\Longleftrightarrow -3x_A-2y_A+c=0$
$~~~~\Longleftrightarrow -3-14+c=0$
$~~~~\Longleftrightarrow c=17$
soit encore $3x+2y-17=0$- Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et $(d')$.
Il faut résoudre le système formé avec une équation de chacune des droitesIl faut résoudre le système:
$~~~~\begin{cases} 2x-3y+6=0 \\ 3x+2y-17=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 13x-39=0~~~~~~2L_1+3L_2 \\ -13y+52=0~~~~~~3L_1-2L_2 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x=3~~~~~~2L_1+3L_2 \\ y=4~~~~~~3L_1-2L_2 \end{cases}$
- Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d'')$ parallèle à $(d)$ passant par $A$ puis tracer $(d'')$.
Droites parallèles
Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires (ayant la même direction)Un point $M(x;y)$ appartient à $(d'')$ si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à un vecteur directeur de $(d)$$(d'')$ parallèle à $(d)$
donc $\overrightarrow{u}(3;2)$ est un vecteur directeur de $(d'')$
$M(x;y)\in (d'')$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AM}}y_{\overrightarrow{u}}-y_{\overrightarrow{AM}}x_{\overrightarrow{u}}=0$
$\Longleftrightarrow (x-1)\times 2-(y-7)\times 3=0$
$\Longleftrightarrow 2x-2-3y+21=0$
$\Longleftrightarrow 2x-3y+19=0$
Exercice 2 (7,5 points)On donne trois carrés ABGH, BCFG et CDEF (voir figure).
I est le milieu de $[AG]$ et J est le point d'intersection de $(AE)$ et $(BG)$.
Montrer que $C$, $I$ et $J$ sont alignés.
On pourra utiliser le repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AH})$.On a alors dans ce repère $B(1;0)$, $G(1;1)$, $E(3;1)$ et $C(2;0)$
Il faut ensuite déterminer une équation de la droite $(AE)$ pour déterminer ensuite l'ordonnée de $J$On se place dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AH})$
On a alors dans ce repère $B(1;0)$, $G(1;1)$, $E(3;1)$ et $C(2;0)$
Equation de la droite $(AE)$
$\overrightarrow{AE}(3;1)$ donc une équation cartésienne de $(AE)$ est de la forme $x-3y+c=0$
et $(AE)$ passe par l'origine du repère donc $c=0$.
Une équation cartésienne de $(AE)$ est $x-3y=0$
Coordonnées de $J$
$J \in (BG)$ et $(BG)$ est parallèle à l'axe des ordonnées $(AH)$ du repère
donc $x_J=1$
$J\in (AE)$
$\Longleftrightarrow x_J-3y_J=0$
$\Longleftrightarrow 1-3y_J=0$
$\Longleftrightarrow y_J=\dfrac{1}{3}$
donc $J(1;\dfrac{1}{3})$
Coordonnées de $I$
$\begin{cases} x_I = \dfrac{x_A+x_G}{2}=\dfrac{1}{2} \\ y_I = \dfrac{y_A+y_G}{2}=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
donc $I\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right) $
Alignement des points $C$, $I$ et $J$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{CI}} = x_I-x_C=\dfrac{-3}{2} \\ y_{\overrightarrow{CI}} = y_I-y_C=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
donc $\overrightarrow{CI}\left(\dfrac{-3}{2} ;\dfrac{1}{2} \right) $
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{CJ}} = x_J-x_C=-1 \\ y_{\overrightarrow{CJ}} = y_J-y_C=\dfrac{1}{3} \end{cases}$
donc $\overrightarrow{CJ}\left(-1 ;\dfrac{1}{3} \right) $
Colinéarité de $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{CI}$
$~~~~x_{\overrightarrow{CI}}y_{\overrightarrow{CJ}}-y_{\overrightarrow{CI}}x_{\overrightarrow{CJ}}$
$=\dfrac{-3}{2}\times \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\times (-1)$
$=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{1}{2}$
$=0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{CI}$ sont colinéaires
Exercice 3 (5 points)Le plan est muni d'un repère orthogonal.
On considère l'ensemble $D_m$ des points $M(x;y)$ dont les coordonnées vérifient
la relation $mx+(2m-1)y+4=0$, avec $m$ réel.- Montrer que l'ensemble $D_m$ est une droite.
- Pour quelles valeurs de $m$, $D_m$ est-elle parallèle à l'un des axes du repère?
Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}(1;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si les vecteurs directeurs de $(D_m)$ ont pour abscisse $0$ alors $(d_m)$ est parallèle à l'axe des ordonnées
Si les vecteurs directeurs de $(D_m)$ ont pour ordonnée $0$ alors $(d_m)$ est parallèle à l'axe des abscisses$D_m$ est parallèle à l'axe des abscisses
si $m=0$
$D_m$ est parallèle à l'axe des ordonnées
si $2m-1=0$ soit pour $m=\dfrac{1}{2}$ - Donner une équation des droites $D_0$ et $D_1$ puis déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
- Montrer que $D_m$ passe par un point fixe quelque soit la valeur du réel $m$.
Fiche méthode
Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.Équations cartésiennes
- tracer une droite définie par son équation cartésienne
- déterminer une équation cartésienne
- déterminer si deux droites sont parallèles
- déterminer une équation cartésienne d'une parallèle
infos: | 20-25mn |vidéos semblables
Pour compléter ce devoir, nous vous conseillons les vidéos suivantes pour préparer ce devoir.exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices. - Construire le vecteur $\overrightarrow{w}$ (laisser les traces de la construction) défini par $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{v}$.