Exercice 1 (5 points)
Une roue de loterie est partagée en six secteurs identiques numérotés de 1 à 6. On la fait tourner et on s'intéresse au chiffre du secteur désigné par le pointeur.
  1. Quel est l'univers associé à cette expérience aléatoire?

    Univers d'une expérience aléatoire


    Une expérience est dite aléatoire si elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles que l'on peut ni prévoir, ni calculer.
    L'ensemble de toutes les issues possibles est appelé l'univers.
    Notation usuelle: On note $\Omega=\left\lbrace x_1;x_2;x_3;....;x_n \right\rbrace$ l'ensemble des issues possibles.
    Il faut déterminer toutes les issues possibles
  2. Est-on dans une situation d'équiprobabilité? (justifier en une phrase)

    Équiprobabilité


    On a une loi de probabilité sur l'ensemble $\Omega$ qui associe à chaque issue $x_i$ la probabilité $p_i$
    Si $p_1=p_2=p_3=...=p_n=\dfrac{1}{n}$, la loi de probabilité est une loi équirépartie.
    Il faut que les probabilités des événements élémentaires (événements de $\Omega$) soient égales.
    Les six secteurs sont identiques donc la probabilité de chaque événement élémentaire est la même.
  3. Soit A l'événement : "le chiffre obtenu est 1".
    L'événement A est-il un événement élémentaire?
    Quelle est la probabilité de A?

    Loi de probabilité


    Définir une loi de probabilité sur l'ensemble $\Omega$, c'est associer à chaque issue $x_i$ un nombre $p_i$ tel que $0\leq p_i\leq 1$ et $p_1+p_2+...+p_n=1$.
    A est composé d'une seule issue de l'univers $\Omega$ donc A est un événement élémentaire.
  4. Que signifie l'événement $\overline{A}$?
    Calculer $p(\overline{A})$.

    Notations des événements et probabilités


    $\Omega$ est l'événement certain et $p(\Omega)=1$
    $\oslash$ est l'événement impossible et $p(\oslash)=0$
    $\overline{A}$ est l'événement contraire de A et est composé de toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas contenue dans A et $p(\overline{A})=1-p(A)$
    $\overline{A}$ est le contraire de $A$
    donc $\overline{A}$ est l'événement "on n'obtient pas 1" soit donc $\overline{A}=\left\lbrace 2; 3;4;5;6 \right\rbrace$
    $p(\overline{A})=1-p(A)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$
  5. Soit B l'événement "le chiffre obtenu est supérieur ou égal à 3".
    Quelle est la probabilité de B?
    Il faut déterminer le nombre d'issues possibles.
    Il y a 4 résultats possibles pour l'événement $B$ (3, 4, 5 et 6)
  6. Que signifie l'événement $A \cap B$?
    Calculer $p(A\cap B)$.

    Intersection (A et B) et réunion (A ou B)


    Soient A et B deux événements.
    L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
    Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.

    L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.

    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
    $A \cap B$ est l'événement "on obtient 1 et un résultat supérieur ou égal à 3"
    donc $A$ et $B$ sont incompatibles $A\cap B=\oslash$
  7. Soit C l'événement "le chiffre obtenu est pair".
    Quelle est la probabilité de C?
    Il y a 3 résultats possibles pour obtenir $C=\left\lbrace 2;4;6 \right\rbrace $
  8. Décrire l'événement $B \cap C$ puis calculer $p(B\cap C)$.
    L'événement $B \cap C$ est "obtenir un résultat pair et supérieur ou égal à 3".
    Il y a donc 2 issues possibles (4 et 6)
  9. Donner la signification de $B\cup C$ puis calculer $p(B\cup C)$.

    Intersection (A et B) et réunion (A ou B)


    Soient A et B deux événements.
    L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
    Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.

    L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.

    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
    $B\cup C$ est l'événement "obtenir un résultat pair ou bien supérieur ou égal à 3"
    $p(B\cup C)=p(B)+p(C)-p(B\cap C)=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$
Exercice 2 (6 points)
Un magasin vend des salons de jardin.
Une enquête statistique a montré que :
- $10$% des personnes qui entrent dans le magasin achètent une table ;
- parmi les personnes qui achètent une table, 80% achètent un lot de chaises ;
- parmi les personnes qui n'achètent pas de table, 10% achètent un lot de chaises.
On suppose que chaque client achète au maximum un seul lot de chaise et une seule table.
Une personne entre dans le magasin.
On note T l'événement : "La personne achète une table"
On note C l'événement : "La personne achète un lot de chaises"
  1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui décrit la production journalière :
  2. Avec les notations de l'énoncé, comment peut-on noter l'événement: "la personne achète un lot de chaises et une table"?
    Calculer sa probabilité.

    Intersection (A et B) et réunion (A ou B)


    Soient A et B deux événements.
    L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
    Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.

    L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.

    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
    L'événement: "la personne achète un lot de chaises et une table" se note $T\cap C$.
  3. Avec les notations de l'énoncé, comment peut-on noter l'événement: "la personne achète un lot de chaises mais n'achète pas de table"?
    Calculer sa probabilité.
    L'événement "la personne achète un lot de chaises mais n'achète pas de table" se note $C\cap \overline{T}$.
  4. Soit l'événement: "la personne a acheté au moins un de deux articles en vente".
    Comment peut-on noter cet événement avec les notations du texte?
    Calculer sa probabilité.
    On veut que $C$ soit réalisé ou bien $T$ soit réalié ou bien que $C$ et $T$ soient réalisés.
    L'événement "la personne a acheté au moins un de deux articles en vente" se note $T\cup C$.
    $p(T\cup C)=\dfrac{10+17-8}{100}=0,19$
    ou bien on peut aussi calculer $p(T\cup C)=\dfrac{9+8+2}{100}=0,19$
Exercice 3 (5 points)
Pour un jeu de loterie, on doit trouver une nombre à trois chiffres.
Lors du tirage, on dispose de trois urnes contenant des billes numérotées de 0 à 9.
Le numéro de la bille tirée dans la première urne correspond au chiffre des centaines, celui de la bille tirée dans la seconde urne au chiffre des dizaines et celui de la troisième urne au chiffre des unités.
  1. Combien y-a-t-il de combinaisons possibles?
    de 0 à 9, cela fait 10 chiffres possibles
    On a 10 choix possibles pour les centaines, 10 pour les dizaines et 10 pour les unités
    Il y a 10 chiffres dans chaque urne et on a 10 choix possibles pour chaque tirage.
    On écrit un nombre compris entre 0 et 999
  2. Quelle est la probabilité de l'événement A: "le joueur a obtenu le bon nombre"?
    Il y a une seule combinaison gagnante.
    Il y a une combinaison sur 1000 donnant le nombre correct
  3. Quelle est la probabilité d'obtenir B: "le joueur a obtenu un nombre multiple de 10" ?
    Il faut que le chiffre des unités soit 0
    Il faut que le chiffre des unités soit 0 donc il y a $10\times 10\times 1=100$ combinaisons donnant un multiple de dix


    On peut aussi écrire qu'il faut obtenir 0 dans la troisième urne et la probabilité d'obtenir le 0 parmi les dix billes dans l'urne 3 est $\dfrac{1}{10}$.
Exercice 4 (4 points)
Problème "ouvert": pour cette exercice, toute démarche, même incomplète sera mise en valeur.
Lors d'un jeu, un candidat doit choisir successivement deux boîtes parmi les dix (numérotées de 1 à 10) qui lui sont présentées.
Toutes les boîtes sont identiques.
Une des boîtes contient une bille marquée A et une des boîte contient une bille marquée B.
Il gagne le gros lot s'il trouve les deux boîtes contenant les billes.
Il gagne un lot de consolation s'il trouve seulement une des deux boîtes contenant une bille.
Calculer en expliquant votre démarche avec un tableau ou un arbre, la probabilité qu'il gagne le gros lot.
Calculer en expliquant votre démarche avec un tableau ou un arbre, la probabilité qu'il gagne le lot de consolation.
Il y a dix choix possibles pour la première boîte et 9 choix possibles pour la seconde boîte (tirage sans remise)
donc $10\times 9=90$ combinaisons possibles.
Il y a deux combinaisons possibles gagnantes (puisque l'on ne tient pas compte de l'ordre du choix)
donc la probabilité de gagner le gros lot est $\dfrac{2}{90}=\dfrac{1}{45}$.
Pour gagner le lot de consolation, il peut trouver la première boîte avec la bille et il y a alors 8 choix possibles pour la seconde boîte ne contenant pas de bille
soit 2 choix possibles pour la première boîte et 8 pour la seconde,ce qui donne 16 possibilités.
S'il trouve la seconde boîte avec la bille, il y a aussi 8 choix possibles pour la première boîte et deux choix possibles pour la seconde boîte soit 16 autres possibilités.
La probabilité de gagner le lot de consolation est donc $\dfrac{32}{90}=\dfrac{16}{45}$.

On peut aussi construire un arbre avec dix branches pour le premier choix (1 à 10) et neuf branches pour le second choix (il reste alors 9 boîtes).
On peut assimiler ce jeu à deux tirages successifs sans remise.(en bleu, possibilités de gagner le gros lot et en rouge de gagner le lot de consolation en supposant que les billes soient dans les boîtes 1 et 2))

vidéos semblables


Pour compléter ce devoir, nous vous conseillons les vidéos suivantes pour préparer ce devoir.

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.