MATHS-LYCEE
Exercice 1 (7 points)
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ dont on donne les représentations graphiques $C_f$ et $C_g$ dans le repère ci-dessous.
- Déterminer à l'aide du graphique les coordonnées du sommet $S$ de la parabole $C_f$.
Le sommet de la parabole $C_f$ a pour coordonnées $(1;-6)$
- En déduire la forme canonique de $f$ en utilisant la question 1 et le point $A$ de la courbe $C_f$.
Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$On a $f(x)=a(x-x_S)+y_S$ et $A(2;-4)$ donc $f(2)=-4$Le sommet de $C_f$ a pour coordonnées $(1;-6)$ et passe par le point de coordonnées $(2;-4)$ donc on va utiliser la forme canonique.
$f(x)=a(x-1)^2-6$ (on a $\alpha=1$ et $\beta=-6$)
Le point $A(2;-4)$ appartient à la courbe $C_f$ donc $f(2)=-4$.
$f(2)=-4 \Longleftrightarrow a(2-1)^2-6=-4 \Longleftrightarrow a=2$
- Déterminer graphiquement les solutions de l'équation $g(x)=0$
Graphiquement, les solutions de l'équation $g(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de de l'axe des abscisses.Graphiquement, les solutions de l'équation $g(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses
$C_g$ coupe l'axe des abscisses en $x_1=-6$ et $x_2=1$.
- En déduire la forme factorisée de $g$ en utilisant la question 3 et le point $B$ de la courbe $C_g$.
Forme factorisée
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$
alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet une racine $x_1$
alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)^2$
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) n'admet aucune racine
alors la forme factorisée de $P$ n'existe pasOn a $g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ et $B(0;6)$ appartient à la courbe $C_g$ donc $g(0)=6$$g(x)=0$ pour $x_1=-6$ et $x_2=1$ donc les racines de $g$ sont donc $x_1=-6$ et $x_2=1$
donc on va utiliser la forme factorisée de $g$
$g(x)=a(x-(-6))(x-1)=a(x+6)(x-1)$
$B(0;6)$ appartient à la courbe $C_g$ donc $g(0)=6$
$g(0)=6 \Longleftrightarrow a(0+6)(0-1)=6 \Longleftrightarrow a=-1$
- Donner la forme développée des fonctions $f$ et $g$.
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
$f(x)=2(x-1)^2-6=2(x^2-2x+1)-6=2x^2-4x-4$
$g(x)=-(x+6)(x-1)=-(x^2-x+6x-6)=-x^2+x-6x+6=-x^2-5x+6$
- Résoudre l'équation $2x^2-4x-4=-x^2-5x+6$
Comment peut-on contrôler les solutions obtenues sur le graphique?Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses. include126fcludSe ramener à une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ en "passant" tous les termes dans le membre de gauche$2x^2-4x-4=-x^2-5x+6 \Longleftrightarrow 2x^2-4x-4+x^2+5x-6=0$
$\phantom{2x^2-4x-4=-x^2-5x+6} \Longleftrightarrow 3x^2+x-10=0$
$x_1=-2$ est une solution car $3\times (-2)^2-2-10=0$
En utilisant le produit des deux racines:
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ soit $-2x_2=\dfrac{-10}{3}$ donc $x_2=\dfrac{-10}{-6}=\dfrac{5}{3}$
On peut aussi calculer le discriminant $\Delta$ pour chercher les solutions de l'équation mais ce n'est pas indispensable ici.
Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$.
Sur le graphique, $C_f$ et $C_g$ se coupent en $x_1=-2$ et $x_2=\dfrac{5}{3}\approx 1,6$ - En déduire, à l'aide du graphique, l'ensemble de solution de l'inéquation $f(x) < g(x)$.
Exercice 2 (7 points)
Résoudre:
- $-2x^2+5x-3>0$
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Chercher les racines de $-2x^2+5x-3$.
Dresser le tableau de signes de $-2x^2+5x-3$.
Ecrire l'ensemble de solution.Racines de $-2x^2+5x-3$:
$-2+5-3=0$ donc $x_1=1$ est une racine de $-2x^2+5x-3$
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $1x_2=\dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2}$
On peut calculer le discriminant $\Delta$ mais ce n'est pas indispensable ici.
$\Delta=b^2-4ac=$ $\Delta>0$.......
Signe de $-2x^2+5x-3$:
- $\dfrac{2x^2-5x+2}{x-3}\geq 0$
Chercher avant tout la valeur interdite
Déterminer les racines de $2x^2-5x+2$
Construire un tableau de signes avec le numérateur $2x^2-5x+2$ et le dénominateur $x-3$
ne pas oublier la double barreIl faut $x-3\neq 0$ soit $x\neq 3$
On résout cette inéquation sur $\mathbb{R} \setminus \lbrace -3 \rbrace$.
Racines de $2x^2-5x+2$:
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 2\times 2=25-16=9$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-3}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+3}{4}=2$
Signe de $\dfrac{2x^2-5x+2}{x-3}$:
Exercice 3 (3 points)
Soit $P$ le polynôme défini sur $\mathbb{R}$ par : $P(x)=2x^3-3x^2+3x-10$.
- Montrer que pour tout réel $x$, on a $P(x)=(x-2)(2x^2+x+5)$.
0 Développer l'expression $(x-2)(2x^2+x+5)$ et vérifier que cela est égal à $P(x)$$(x-2)(2x^2+x+5)=2x^3+x^2+5x-4x^2-2x-10=2x^3-3x^2+3x-10=P(x)$
Ne pas écrire dès le départ que $P(x)=(x-2)(2x^2+x+5)=.....$
En effet, on veut vérifier que $P(x)=(x-2)(2x^2+x+5)$ donc on effectue le calcul en développant $(x-2)(2x^2+x+5)$ pour être certain que l'on obtient bien $P(x)$. - En déduire les solutions de l'équation $P(x)=0$.
Exercice 4 (4 points)
Une entreprise produit entre 2 et 50 appareils électroménagers par heure. Le coût horaire de production de $x$ appareils, en euros, est donné par:$C(x)=x^2+50x+76$, pour $2\leqslant x\leqslant 50$.
Le prix de vente unitaire d'un appareil est de 90 euros.
On suppose que tout appareil produit est vendu.
- Exprimer en fonction de $x$ la recette totale.
- En déduire que le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et vente de ces $x$ appareils est donné par la fonction $B$ définie par $B(x)=-x^2+40x-76$.
- Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ et en déduire le nombre d'appareils à produire pour que le bénéfice horaire soit maximum.
4
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Chercher les coordonnées du sommet de la parabole représentatnt la fonction bénéfice.$\alpha=\dfrac{-40}{-2}=20$
$\beta=B(\alpha)=B(20)=-20^2+40\times 20-76=324$
Le coefficient $a$ de $x^2$ est $-1$ donc on a:
Le maximum de $B$ est atteint pour $x=20$.
- Dresser le tableau de signes de $-x^2+40x-76$.
On donne les racines $x_1=2$ et $x_2=38$ de $-x^2+40x-76$.
L'entreprise réalise-t-elle toujours des bénéfices? Justifier.
Fiche méthode
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Résolution d'équation commentées pas à pas
- exemples types d'équations pas à pas
infos: | 8-12mn |
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