MATHS-LYCEE
Exercice 1 (10 points)
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^3+9x^2+21x-4$ et on note $C_f$ sa représentation graphique de $f$.
- Calculer $f'(x)$.
Dérivées usuelles
$f'(x)=-3x^2+9\times 2x+21+0=-3x^2+18x+21$
- Etudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$.
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$Il faut d'abord chercher les racines de $f'(x)$$f'(x)=-3x^2+18x+21$
recherche des racines de $f'(x)=-3x^2+18x+21$
$\Delta=b^2-4ac=18^2-4\times (-3)\times 21=576$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-18 + 24}{ -6 }=\dfrac{6}{-6}=-1$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -18- 24}{ -6 }=\dfrac{-42}{-6}=7$
On a donc:
avec $f(-1)=-(-1)^3+9\times (-1)^2+21\times (-1)-4=1+9-21-4=-15$
et $f(7)=-7^3+9\times 7^2+21\times 7-4=-343+441+588-4=241$- Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ au point $A$ de la courbe d'abscisse 4.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Il faut calculer $f'(4)$ et $f(4)$.$f'(4)=-3\times 4^2+18\times 4+21=45$
et $f(4)=-4^3+9\times 4^2+21\times 4-4=160$
$T$: $y=f'(4)(x-4)+f(4)=45(x-4)+160=45x-20$
- Compléter le tracé de $C_f$ ci-dessous en traçant $T$ et les tangentes parallèles aux axes du repère.
Il faut placer les points d'abscisses $-1$ et $7$ correspondant aux maximum et minimum locaux et les tangentes en ces points ont pour coefficient directeur $0$.On place les points $(-1;-15)$ et $(7;241)$ et les tangentes en ces deux points ont pour coefficient directeur 0 donc sont parallèles à l'axe des abscisses.
$T$ passe par $A(4;160)$ et a pour équation réduite $y=45x-20$ donc coupe l'axe des ordonnées en $-20$ et a pour coefficient directeur $45$ (voir figure).
- Une entreprise fabrique des pièces métalliques de précision et chaque pièce est vendue au prix de 71 euros.
On note $x$ la quantité de pièces vendues chaque jour et le coût de production, en euros de $x$ pièces est donné par la fonction $C(x)=x^3-9x^2+50x+4$.
La production journalière maximale est de 10 pièces.- Montrer que le bénéfice est donné par la fonction $f$.
- En déduire le bénéfice journalier maximum de cette entreprise.
Exercice 2 (10 points)On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie et dérivable sur $]-3;+\infty[ $ et la droite $T$ est la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $-1$.
- Déterminer graphiquement $f'(-1)$.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Il faut déterminer le coefficient directeur de $T$$f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ au point d'abscisse $-1$
donc $f'(-1)=\dfrac{\text{variation des ordonnées}}{\text{variations des abscisses}}=\dfrac{-6}{2}=-3$ (voir figure ci-dessous)
- $f$ est définie par la relation $f(x)=\dfrac{x^2+7}{x+3}$.
- Montrer que $f'(x)=\dfrac{x^2+6x-7}{(x+3)^2}$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
On peut poser $u(x)=x^2+7$ et $v(x)=x+3$On pose $u(x)=x^2+7$ et $v(x)=x+3$
On a alors $u'(x)=2x$ et $v'(x)=1$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x(x+3)-(x^2+7)\times 1}{(x+3 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x^2+6x-x^2-7}{(x+3 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2+6x-7}{(x+3 )^2}$
- Etudier le signe de $f'(x)$ et compléter le tableau de variations ci-dessous.
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
On peut poser $u(x)=x^2+7$ et $v(x)=x+3$$(x+3)^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x^2+6x-7$
$\Delta=b^2-4ac=6^2-4\times 1\times (-7)=36+28=64$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-6 + 8}{ 2 }=1$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-6 -8 }{2 }=-7$
On a donc:
$f(1)=\dfrac{1^2+7}{1+3}=2$.
- Montrer que $f'(x)=\dfrac{x^2+6x-7}{(x+3)^2}$
- Résoudre l'inéquation $f(x) < 4$
puis contrôler graphiquement les solutions de cette inéquation.0 On cherche les abscisses des points de $C_f$ dont l'ordonnée est strictement inférieure à 4$f(x) < 4 \Longleftrightarrow \dfrac{x^2+7}{x+3}< 4$
$\phantom{f(x)<4} \Longleftrightarrow \dfrac{x^2+7}{x+3}-4 < 0$
$\phantom{f(x)<4} \Longleftrightarrow \dfrac{x^2+7-4(x+3)}{x+3} < 0$
$\phantom{f(x)<4} \Longleftrightarrow \dfrac{x^2+7-4x-12}{x+3} < 0$
$\phantom{f(x)<4} \Longleftrightarrow \dfrac{x^2-4x-5}{x+3} < 0$
Sur $]-3;+\infty[$ on a $x+3 >0$ donc $\dfrac{x^2-4x-12}{x+3}$ est du signe de sont numérateur $x^2-4x-5$.
Racines et signe de $x^2-4x-5$
$\Delta=(-4)^2-4 \times 1 \times (-5)=36$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ 4+ 6}{ 2 }=5$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ 4- 6 }{ 2 }=-1$
On a donc:
Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f(x)<4$ sont les abscisses (en vert) des points de $C_f$(en bleu) situés strictement en-dessous de la droite d'équation $y=4$.
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réf 808: Étude des variation d'une fonction polynôme
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réf 806: Dérivée d'un produit
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