Exercice 1 (4 points)
Dans chaque cas, calculer la dérivée de $f'$ de $f$ définie et dérivable sur $D$.
  1. $f(x)=2x^2-\dfrac{3}{x}$ sur $D=\mathbb{R}^*$

    Dérivées usuelles


    On peut écrire $f(x)=2x^2-3\times \dfrac{1}{x}$
    Il faut donc déterminer la dérivée de $x^2$ et de $ \dfrac{1}{x}$
    $f(x)=2x^2-3\times \dfrac{1}{x}$
    donc $f'(x)=2\times 2x-3\times \dfrac{-1}{x^2}=4x+\dfrac{3}{x^2}$
  2. $f(x)=\dfrac{x^2}{2}\sqrt{x}$ sur $D=]0;+\infty[$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On pose $u(x)=\dfrac{x^2}{2}$ et $v(x)=\sqrt{x}$
    On pose $u(x)=\dfrac{x^2}{2}$ et $v(x)=\sqrt{x}$
    et on a $u'(x)=\dfrac{2x}{2}=x$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{f'(x)}=x\sqrt{x}+\dfrac{x^2}{2}\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    $\phantom{f'(x)}=x\sqrt{x}+\dfrac{x^2}{4\sqrt{x}}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{4\sqrt{x}x\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}+\dfrac{x^2}{4\sqrt{x}}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{4x^2+x^2}{4\sqrt{x}}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{5x^2}{4\sqrt{x}}$
  3. $f(x)=\dfrac{-2}{3+2x^2}$ sur $D=\mathbb{R}$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On peut poser écrire $ f(x)=-2 \times \dfrac{1}{3+2x^2}$
    On pose $v(x)=3+2x^2$ et on a $v'(x)=0+2\times 2x=4x$
    $f'(x)=-2\times \dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=-2\times \dfrac{-4x}{(3+2x^2)^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{8x}{(3+2x^2)^2}$
Exercice 2 (6 points)
$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $C_f$ sa représentation graphique donnée dans le repère ci-dessous.

$T$ est $T_1$ sont les tangentes à la courbe respectivement aux points $A$ d'abscisse 1 et au point $B$ d'abscisse 2.
Par lecture graphique
  1. Donner la valeur de $f'(1)$ en justifiant ; puis $f'(2)$ (sans justifier).

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$


    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
    Il faut déterminer le coefficient directeur de $T$ et de $T_1$
    $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à $C_f$ au point $A$ d'abscisse 1
    et $T$ est parallèle à l'axe des abscisses



    On peut aussi calculer $f'(2)$ en utilisant les points $B(2;0)$ et $C(3;13)$ de la tangente $T_1$.
    On a alors $f'(2)=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\dfrac{13-0}{3-2}=13$

  2. On donne $f(x)=x^3+2x^2-7x-2$.
  3. Calculer $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.

    Dérivées usuelles


    Signe de la dérivée et variations d'une fonction


    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
    $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
    $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
    $f'(x)=3x^2+2\times 2x-7=3x^2+4x-7$
    Etude du signe de $3x^2+4x-7$
    On remarque que $x_1=1$ est une racine car $3+4-7=0$
    $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $x_2=\dfrac{-7}{3}$
    $3x^2+4x-7$ est du signe de $a=3$ coefficient de $x^2$ à "l'extérieur" des racines
    donc on a:

    et $f\left(-\dfrac{7}{3}\right)\approx 12,5$ et $f(1)=-6$
  4. Déterminer l'abscisse du point de la courbe $C_f$ pour lequel la tangente est parallèle à $T_1$.

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$


    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
    Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
    Le coefficient directeur de $T_1$ est $f'(2)=13$.
    On veut donc déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles on a $f'(x)=13$.
    $f'(x)=13 \Longleftrightarrow 3x^2+4x-7=13\Longleftrightarrow 3x^2+4x-20=0$
    $x'_1=2$ est une racine de $3x^2+4x-20$
    donc $x'_1x'_2=\dfrac{c}{a}$ soit $2x'_2=\dfrac{-20}{3}$ soit $x'_2=\dfrac{-20}{6}=\dfrac{-10}{3}$


    Tracé en orange sur la figure de la question suivante.
  5. La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x-2$ et on note $C_g$ sa représentation graphique dans le repère ci-dessous.
    Déterminer les abscisses des points d'intersection de $C_f$ et $C_g$ et contrôler graphiquement en traçant $C_g$.
    Résoudre alors graphiquement l'inéquation $f(x) < g(x) $ sur $[-4;2]$.
    Il faut résoudre l'équation $f(x)=g(x)$.
    On veut ensuite les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe de $f$ est en-dessous de celle de $g$
    $f(x)=g(x) \Longleftrightarrow x^3+2x^2-7x-2=x-2$
    $\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow x^3+2x^2-7x-2-x+2=0$
    $\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow x^3+2x^2-8x=0$
    $\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow x(x^2+2x-8)=0$
    $\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x^2+2x-8=0$
    Racines de $x^2+2x-8$
    $2^2+2\times 2-8=0$ donc $x_1=2$ est une racine
    et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $2x_2=-8$ soit $x_2=-4$

    Pour contrôler graphiquement, il faut tracer $C_g$ qui est la représentation graphique d'une droite de coefficient directeur 1 et d'ordonnée à l'origine $-2$.

Exercice 3 (4 points)
La fonction $f$ est définie sur $]-4;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}$
et $g$ est définie et dérivable sur $]-4;+\infty[$ par $g(x)=2x^3+12x^2+2$
  1. Justifier que $f$ est dérivable sur $D_f$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x+4)^2}$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On pose $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$
    On pose $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc sur $]4;+\infty[$ et $v(x)\neq 0$
    donc le quotient $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ est dérivable sur $]4;+\infty[$
    On a $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=1$
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^2(x+4)-(x^3-2)\times 1}{(x+4 )^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^3+12x^2-x^3+2}{(x+4 )^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4 )^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{g(x)}{(x+4 )^2}$
  2. On pose $g$ définie et dérivable sur $]-4;+\infty[$ par $g(x)=2x^3+12x^2+2$
    Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$.
    En déduire le signe de $g(x)$.

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    $g'(x)=2\times 3x^2+12\times 2x+0=6x^2+24x=6x(x+4)$
    Les racines de $6x^2+24x$ sont $x=0$ et $x=-4$ et $-4\notin ]-4;+\infty[$.
    $g'(x)$ est donc du signe de $a=6$ coefficient de $x^2$ pour $x >0$.

    avec $g(0)=2\times 0^3+12\times 0^2+2=2$
    Le minimum de $g$ est 2 atteint en $x=0$
  3. En déduire le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$.

    Signe de la dérivée et variations d'une fonction


    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
    $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
    $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
    Il faut étudier le signe de $f'(x)$ et on a $(x+4)^2 > 0$ sur $]-4;+\infty[$
    $f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x+4)^2}$
    et $(x+4)^2 > 0$ sur $]-4;+\infty[$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$.
    D'après la question précédente, on a $g(x)>0$ donc $f'(x) > 0$
Exercice 4 (3 points)
Problème ouvert: Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
La fonction $f$ définie, dérivable sur $\mathbb{R}$ est définie par $f(x)=ax^3+bx+c$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
$C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point $A(0;3)$.
La tangente à $C_f$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.
La tangente à $C_f$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=18x-29$.
Déterminer l'expression de $f$ (déterminer $a$, $b$ et $c$).

Systèmes d'équations à deux inconnues


$S: \begin{cases} ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}$ avec $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ réels et $x$ et $y$ sont les deux inconnues.
Le système $S$ admet une solution unique si et seulement si $ab'-a'b\neq 0$ (déterminant du système $S$).
On a $f(0)=3$, $f'(1)=0$ et $f'(2)=18$
Il faut donc exprimer $f'(x)$ puis $f'(1)$ et $f'(2)$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
$A(0;3)$ appartient à $C_f$ donc $f(0)=3$ et $f(0)=a\times 0^3+b\times 0+c=c$
donc $c=3$
La tangente à $C_f$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses et a donc pour coefficient directeur 0
donc $f'(1)=0$.
$f'(x)=a\times 3x^2+b\times 1+0=3ax^2+b$.
donc $f'(1)=3a\times 1^2+b=3a+b=0$
La tangente à $C_f$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=18x-29$ et son coefficient directeur est 18
donc $f'(2)=18$.
$f'(2)=3a\times 2^2+b=12a+b=18$
Il faut donc résoudre le système d'équations $\begin{cases}3a+b=0\\ 12a+b=18 \end{cases}$.
$\begin{cases}3a+b=0\\ 12a+b=18 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}b=-3a\\ 12a-3a=18 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases}3a+b=0\\ 12a+b=18 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases}b=-3a\\ 9a=18 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases}3a+b=0\\ 12a+b=18 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases}b=-6\\ a=2 \end{cases}$

Courbe et tangentes données à titre indicatif


La tangente à $C_f$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=18x-29$ ce qui signifie que le point d'abscisse 2 et d'ordonnée $y=18\times 2-29=7$ est le point de contact entre la courbe et cette tangente.
On doit donc avoir $f(2)=7$.
Vérification: $f(2)=2\times 2^3-6\times 2+3=16-12+3=7$.
On peut aussi tracer la courbe sur la calculatrice en saisissant $f(x)$ en Y1 et $18x-29$ en Y2.

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Calculs de dérivées et erreurs fréquentes

- utilisation des dérivée usuelles
- utilisation des formules de dérivation


infos: | 10-15mn |

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