Exercice 1 (3 points)
Donner la valeur exacte de $cos \left(\dfrac{25\pi}{3}\right)$ et de $sin \left(\dfrac{37\pi}{4}\right)$

Mesure principale


La mesure principale d'un angle est la mesure appartenant à $]-\pi;\pi]$

Valeurs remarquables du cos et du sin


Il faut d'abord déterminer la mesure principale de chacun des angles donnés.
$\dfrac{25}{3}\approx 8,3$ et $\dfrac{25\pi}{3}-8\pi=\dfrac{25\pi-24\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$
La mesure principale de $\dfrac{25\pi}{3}$ est $\dfrac{\pi}{3}$.
On a $\dfrac{25\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+4\times 2\pi$
$cos \left(\dfrac{25\pi}{3}\right)=cos \left(\dfrac{\pi}{3}+4\times 2\pi\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$


$\dfrac{37}{4}=9,25$ et $\dfrac{37\pi}{4}-10\pi=\dfrac{37\pi-40\pi}{4}=\dfrac{-3\pi}{4}$
La mesure principale de $\dfrac{37\pi}{4}$ est $\dfrac{-3\pi}{4}$.
On a $\dfrac{37\pi}{4}=\dfrac{-3\pi}{4}+5\times 2\pi$
$sin \left(\dfrac{37\pi}{4}\right)=sin \left(\dfrac{-3\pi}{4}+5\times 2\pi\right)=sin\left(\dfrac{-3\pi}{4}\right)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$ (voir figure ci-dessous)

Exercice 2 (6 points)
  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

    Valeurs remarquables du cos et du sin


    On a $cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    donc les mesures principales des solutions sont $\dfrac{3\pi}{4}$ et $-\dfrac{3\pi}{4}$ (voir figure ci-dessous)

  2. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'équation $cos(2x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    On a $cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    On a $cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    donc $cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (car $\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$)
    et $cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

    $2x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ ou $2x=-\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi$ ou $x=-\dfrac{5\pi}{12}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    Pour $k=0$ on a $x=\dfrac{5\pi}{12}$ ou $x=-\dfrac{5\pi}{12}$
    Pour $k=1$ on a $x=\dfrac{17\pi}{12}\notin ]-\pi;\pi]$ ou $x=\dfrac{7\pi}{12}$
    Pour $k=2$ on a $x=\dfrac{29\pi}{12}\notin ]-\pi;\pi]$ ou $x=\dfrac{19\pi}{12}\notin ]-\pi;\pi]$
    donc pour $k\geq 2$ on a $x\notin ]-\pi;\pi]$.
    Pour $k=-1$ on a $x=\dfrac{-7\pi}{12}$ ou $x=-\dfrac{19\pi}{12}\notin ]-\pi;\pi]$
    Pour $k=-2$ on a $x=\dfrac{-19\pi}{12}\notin ]-\pi;\pi]$ ou $x=-\dfrac{31\pi}{12}\notin ]-\pi;\pi]$
    donc pour $k\leq -2$ on a $x\notin ]-\pi;\pi]$.
  3. Résoudre dans $[0;2\pi]$ l'équation $sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    On a $sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    On a $sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    donc $x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ ou $x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

    $x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ ou $x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    Pour $k=0$ on a $x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{2\pi}{3}$
    Pour $k=1$ on a $x=\dfrac{7\pi}{3}\notin [0;2\pi]$ ou $x=\dfrac{8\pi}{3}\notin [0;2\pi]$
    donc pour $k\geq 1$ on a $x\notin [0;2\pi]$.
    Pour $k\leq -1$ on a $x\notin [0;2\pi]$
  4. Déterminer la mesure principale de $\alpha$ tel que $\begin{cases}cos(x)=-\dfrac{1}{2}\\ sin(x)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\end{cases}$

    Valeurs remarquables du cos et du sin


    faire un schéma sur le cercle trigonométrique en utilisant les symétrie par rapport à l'axe des abscisses ou des ordonnées.
    On a $cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$
    et $sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Exercice 3 (4 points)
  1. Exprimer $cos(x+5\pi)+cos\left(x+\pi\right)+cos(\pi-x)$ en fonction de $cos(x)$

    Angles associés


    Il faut d'abord déterminer la mesure principale de $5\pi$ et de $\dfrac{9\pi}{2}$
    $cos(x+5\pi)+cos\left(x+\pi\right)+cos(\pi-x)=cos(x+\pi+4\pi)+sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}+4\pi \right)+cos(\pi-x)$
    $\phantom{cos(x+5\pi)+cos\left(x+\pi\right)+cos(\pi-x)}=cos(x+\pi)-co\left(x\right)-cos(x)$

    $cos(x+5\pi)+cos\left(x+\pi\right)+cos(\pi-x)=-cos(x)+cos(x)-cos(x)$
    $\phantom{cos(x+5\pi)+cos\left(x+\pi\right)+cos(\pi-x)}=-cos(x)$
  2. Simplifier au maximum $sin\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+sin\left(\dfrac{8\pi}{7}\right)$
    On a $\dfrac{8\pi}{7}=\pi+\dfrac{\pi}{7}$
    $sin\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+sin\left(\dfrac{8\pi}{7}\right)= sin\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{7}\right)$
    $\phantom{sin\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+sin\left(\dfrac{8\pi}{7}\right)}= sin\left(\dfrac{\pi}{7}\right)-sin\left(\dfrac{\pi}{7}\right)$
    $\phantom{sin\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+sin\left(\dfrac{8\pi}{7}\right)}= 0$
Exercice 4 (4 points)
On donne $sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}+1}{4}$ et $x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$
Calculer la valeur exacte de $cos(x)$.

Identités remarquables


$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Calculer d'abord $sin^2(x)$
$sin^2(x)=\left(\dfrac{\sqrt{2}+1}{4}\right)^2$
$\phantom{sin^2(x)}=\dfrac{\sqrt{2}^2+2\sqrt{2}+1^2}{16}$
$\phantom{sin^2(x)}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{16}$
On a $cos^2(x)+sin^2(x)=1$
donc $cos^2(x)=1-sin^2(x)$
$cos^2(x)=1-\dfrac{3+2\sqrt{2}}{16}$
$cos^2(x)=\dfrac{16-3-2\sqrt{2}}{16}$
$cos^2(x)=\dfrac{13-2\sqrt{2}}{16}$
on a donc $cos(x)=\dfrac{\sqrt{13-2\sqrt{2}}}{4}$
ou bien $cos(x)=-\dfrac{\sqrt{13-2\sqrt{2}}}{4}$
Or $x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$
donc $cos(x)\leq 0$
Exercice 5 (3 points)
Sur la figure $ABCD$ est un carré de côté 1 (orienté dans le sens direct) et $BEC$ est un triangle équilatéral(voir figure ci-dessous).
  1. Calculer $H'E$ puis $HE$.
    $BCE$ est équilatéral donc $H'$ est le milieu de $[BC]$ et $(H'E)$ est la hauteur issue de $E$ dans $BCE$
    $(H'E)$ est la hauteur issue de $E$ dans $BCE$
    donc $H'CE$ est un triangle rectangle en $H'$ avec $CE=1$ et $H'C=\dfrac{1}{2}$
    $H'C^2+H'E^2=CE^2 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{4}+H'E^2=1$
    $\phantom{H'C^2+H'E^2=CE^2} \Longleftrightarrow H'E^2=\dfrac{3}{4}$
    $\phantom{H'C^2+H'E^2=CE^2} \Longleftrightarrow H'E=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    $H'H=CD=1$ donc $H'E=HH'-H'E=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}$
  2. Montrer que $(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AE})=\dfrac{\pi}{12}$.
    Le triangle $BEA$ est isocèle en $B$ et on a $\widehat{CBE}=60^{0}$
    Le triangle $CBE$ est équilatéral donc $\widehat{CBE}=\dfrac{\pi}{3}$ radians
    et $\widehat{ABE}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}$ radians.
    Le triangle $BEA$ est isocèle en $B$ donc $\widehat{BAE}=\widehat{BEA}=\dfrac{\pi-\dfrac{\pi}{6}}{2}=\dfrac{5\pi}{12}$
    On a alors $\widehat{HAE}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{12}$ radians.
    $(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AE})$ est orienté dans le sens direct
  3. En déduire $cos\left( \dfrac{\pi}{12}\right)$
    $AHE$ est un triangle rectangle en $H$ donc $cos(\widehat{HAE})=\dfrac{AE}{AH}$
    $AHE$ est un triangle rectangle en $H$ donc $cos(\widehat{HAE})=\dfrac{AE}{AH}$
    soit $cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{AE}{AH}$
    On a $AH=\dfrac{1}{2}$ et $HE=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}$
    $AE^2=AH^2+HE^2 $
    $\phantom{AE^2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{4-4\sqrt{3}+3}{4}$
    $\phantom{AE^2}=\dfrac{8-4\sqrt{3}}{4}$
    $\phantom{AE^2}=2-\sqrt{3}$
    donc $AE=\sqrt{2-\sqrt{3}}$
    $cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équations trigonométriques simples

- équations du type cos(x)=a
- équations du type sin(x)=a


infos: | 8-10mn |

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