Exercice 1 (8 points)
Le parc informatique d'un lycée est composé d'ordinateurs dont :
15% sont considérés comme neufs ;
45% sont considérés comme récents ;
les autres sont considérés comme anciens.
Une étude statistique indique que chaque jour:
5% des ordinateurs neufs sont défaillants ;
10% des ordinateurs récents sont défaillants ;
20% des ordinateurs anciens sont défaillants.
On choisit au hasard un ordinateur de ce parc. On note les événements suivants :
-$N$ : " L'ordinateur est neuf " ;
-$R$ : " L'ordinateur est récent " ;
-$A$ : " L'ordinateur est ancien " ;
D : " L'ordinateur est défaillant " ;
$\overline{D}$: l'événement contraire de D.
Pour tout l'exercice, on donnera les résultats arrondis aux millièmes si nécessaire.
  1. En utilisant les données de l'énoncé (sans calculs), traduire les 6 données de l'énoncé avec les notations des événements données ci-dessus.
    15% des ordinateurs sont considérés comme neufs donc $p(N)=\dfrac{15}{100}=0,15$
    45% ordinateurs sont considérés comme récents donc $p(R)=\dfrac{45}{100}=0,45$
    $p(A)=1-p(N)-p(R)=1-\dfrac{15}{100}-\dfrac{45}{100}=\dfrac{40}{100}=0,4$
    10% des ordinateurs récents sont défaillants donc $p_N(D)=0,05$
    10% des ordinateurs récents sont défaillants donc $p_R(D)=0,1$
    20% des ordinateurs anciens sont défaillants donc $p_A(D)=0,2$
  2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

    Arbre pondéré


    Probabilités sur un arbre pondéré:
    Placer les probabilités non conditionnelles au premier nievau de l'arbre, soit $p(R)$ et $p(A)$
  3. Calculer la probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant.

    Probabilité de l'événement $A\cap B$


    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
    $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$
    La probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant se note $p(N\cap D)$.
    La probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant se note $p(N\cap D)$.
    $p(N\cap D)=p(N) p_N(D)=0,15 \times 0,05=0,0075$


    La consigne était " on donnera les résultats arrondis aux millièmes si nécessaire" mais ici 0,075 est la valeur exacte donc il n'est pas nécessaire d'arrondir.
  4. Démontrer que la probabilité que l'ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.

    Probabilités totales


    Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
    Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
    et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
    $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$
    Il faut calculer $p(D)$ en utilisant la formule des probabilités totales et/ou l'arbre en identifiant les parcours menant à l'événement $D$.
    $N\cap A=\oslash$, $R\cap A=\oslash$ et $A\cap D=\oslash$ (les événements sont disjoints deux à deux)
    $N\cup R \cup A=\Omega$
    donc $N$, $R$ et $A$ forment une partition de l'univers
    et en utilisant la formule des probabilités totales, on a:
    $p(D)=p(N\cap D)+p(R\cap D)+p(A\cap D)$

    $\phantom{p(D)}=0,075+p(R)p_R(D)+p(A) p_A(D)$

    $\phantom{p(D)}=0,0075+0,45 \times 0,1+0,4\times 0,2$

    $\phantom{p(D)}=0,1325$
  5. Déterminer la probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant.

    Probabilité conditionnelle


    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
    La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
    et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.
    On peut écrire $p(A\cap D)=p(D)p_D(A)$
    La probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant se note $p_D(A)$.
    $p_D(A)=\dfrac{p(D\cap A)}{p(D)}=\dfrac{p(A) p_A(D)}{p(D)}=\dfrac{0,4 \times 0,2}{0,1325}\approx 0,604$

Exercice 2(12 points)
D'après BAC ES Amérique du Nord 2012.

Un restaurateur propose trois formules à midi :
-Formule $A$ : Plat du jour / Dessert / Café
-Formule $B$ : Entrée / Plat du jour / Dessert / Café
-Formule $C$ : Entrée / Plat du jour / Fromage / Dessert / Café
Lorsqu'un client se présente au restaurant pour le repas de midi, il doit choisir une des trois formules proposées et commander ou non du vin.
Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule $A$, tandis qu'un client sur deux choisit la formule $B$.
On sait aussi que :
-Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne sur quatre commande du vin.
-Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes sur cinq commandent du vin.
-Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes sur trois commandent du vin.
Un client se présente au restaurant pour le repas de midi. On considère les évènements suivants :
-$A$ : " le client choisit la formule $A$ "
-$B$ : " le client choisit la formule $B$ "
-$C$ : " le client choisit la formule $C$ "
-$V$ : " le client commande du vin "
Les probabilités demandées seront arrondies, si c'est nécessaire, au centième.
  1. Calculer $p(C)$.
    $p(A)+p(B)+p(C)=1$
    Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule $A$ donc $p(A)=\dfrac{1}{5}=0,2$.
    Le restaurateur a constaté qu'un client sur deux choisit la formule $B$ donc $p(B)=\dfrac{1}{2}=0,5$.
    $p(C)=1-p(A)-p(B)$
    donc $p(C)=1-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{10}=0,3$.
  2. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous.

    Arbre pondéré


    Probabilités sur un arbre pondéré:
    -Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne sur quatre commande du vin donc $p_A(V)=\dfrac{1}{4}=0,25$.
    -Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes sur cinq commandent du vin donc $p_B(V)=\dfrac{2}{5}=0,4$.
    -Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes sur trois commandent du vin donc $p_C(V)=\dfrac{2}{3}$.
    On a donc
  3. Montrer que $p(V)=0,45$.

    Probabilités totales


    Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
    Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
    et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
    $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$
    $p(V)=p(A\cap V)+p(B\cap V)+p(C\cap V)$
    $A\cap B=\oslash$, $A\cap C=\oslash$ et $B\cap C=\oslash$ (les événements sont disjoints deux à deux)
    $A\cup B \cup C=\Omega$
    donc $A$, $B$ et $C$ forment une partition de l'univers
    et en utilisant la formule des probabilités totales, on a:
    $p(V)=p(A\cap V)+p(B\cap V)+p(C\cap V)$
    Or $p(A\cap V)=0.2\times0,25=0,05$
    $p(B\cap V)=0,5\times0,4=0,2$
    et $p(C\cap V)=0,3\times\dfrac{2}{3}=0,2$
    donc $p(V)=0,05+0,2+0,2=0,45$.
  4. Le client commande du vin. Calculer la probabilité qu'il ait choisi la formule $A$.

    Probabilité conditionnelle


    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
    La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
    et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.
    On veut calculer $p_V(A)$
    La probabilité demandée se note $p_V(A)$.
    $p_V(A)=\dfrac{p(A\cap V)}{p(V)}=\dfrac{0,05}{0,45}=\dfrac{1}{9}\approx 0,11$.
  5. La formule $A$ coûte 8 euros, la formule $B$ coûte 12 euros et la formule $C$ coûte 15 euros. Le vin est en supplément et coûte 3 euros.
    On note $D$ la dépense en euro d'un client venant manger à midi dans ce restaurant.
    Déterminer la loi de probabilité de $D$.
    Pour chaque parcours sur l'arbre, identifier la dépense correspondante et calculer sa probabilité.
    Pour l'événement $A\cap V$, la dépense est de $8+3=11$ euros et $p(A\cap V)=0,2\times 0,25=0,05$
    Pour l'événement $A\cap \overline{V}$, la dépense est de $8$ euros et $p(A\cap \overline{V})=0,2\times 0,75=0,15$
    Pour l'événement $B\cap V$, la dépense est de $12+3=15$ euros et $p(B\cap V)=0,5\times 0,4=0,2$
    Pour l'événement $B\cap \overline{V}$, la dépense est de $12$ euros et $p(B\cap \overline{V})=0,5\times 0,6=0,3$
    Pour l'événement $C\cap V$, la dépense est de $15+3=18$ euros et $p(C\cap V)=0,3\times \dfrac{2}{3}=0,2$
    Pour l'événement $C\cap \overline{V}$, la dépense est de $15$ euros et $p(C\cap \overline{V})=0,3\times \dfrac{1}{3}=0,1$
    On peut résumer ceci dans le tableau ci-dessous:
  6. Calculer la dépense moyenne par client en euro.

    Espérance-variance-écart type


    L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
    $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
    La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
    $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$

    ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$

    L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
    Il faut calculer l'espérance de $D$
    La dépense moyenne par client en euro est l'espérance de $D$.
    $E=8\times0,15 + 11\times0,05 + 12\times0.3 + 15\times0,3 + 18\times0,2 =13,45$

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