Exemple d'exercice corrigé Première S: Ex 1-5-6:

Contenu

Factorisation d'un polynôme de degré 3
Signe d'un polynôme de degré 2
Signe d'un polynôme de degré 3 (tableau de signes)

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Infos sur l'exercice

  •  chap1 : Second degré
  • série 5: Signe du trinôme-inéquations du second degré

  •  niveau:
  • 10-20mn
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On veut résoudre l'inéquation $2x^3-7x^2+4x+4<0$
  1. Montrer que pour tout réel $x$, on a: $2x^3-7x^2+4x+4=(x-2)(2x^2-3x-2)$
    Développer puis simplifier le membre de droite
    $(x-2)(2x^2-3x-2)=$.....
    $(x-2)(2x^2-3x-2)=2x^3-3x^2-2x-4x^2+6x+4=2x^3-7x^2+4x+4$


    Pour tout réel $x$, $2x^3-7x^2+4x+4=(x-2)(2x^2-3x-2)$
  2. Déterminer les racines du polynôme $2x^2-3x-2$
    $\Delta=b^2-4ac=9-4\times 2\times (-2)=25$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-5}{4}=\dfrac{-1}{2}$
    et
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+5}{4}=2$

    Les racines de $2x^2-3x-2$ sont $x_1=\dfrac{-1}{2}$ et $x_2=2$

  3. En déduire l'ensemble de solution de l'inéquation $2x^3-7x^2+4x+4<0$
    Utiliser la forme factorisée de la question 1 puis dresser un tableau de signes du produit des deux facteurs
    Attention, il y a trois valeurs de $x$ annulant le polynôme de degré 3, les racines de $2x^2-3x-2$ et la valeur de $x$ annulant le facteur $x-2$
    $2x^3-7x^2+4x+4<0 \Longleftrightarrow (x-2)(2x^2-3x-2)<0$

    Le polynôme de degré 3, $2x^3-7x^2+4x+4$ est strictement négatif pour $x \in ]-\infty;\dfrac{-1}{2}[$

    $S=]-\infty;\dfrac{-1}{2}[ $



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