On note $P_n$ la propriété $10^n-1$ est divisible par $9$ pour tout entier $n\geq 1$
Initialisation:
Pour $n=1$, on a $10^1-1=10-1=9$
et $9\div 9=1$
$10^1-1$ est divisible par $9$ donc $P_1$ est vraie.

$10^n-1$ est divisible par 9 donc il existe un entier naturel $k$ tel que $10^n-1=9k$.
$10^n-1=9k \Longleftrightarrow 10^n=9k+1$
$\phantom{10^n-1=9k} \Longleftrightarrow 10^n\times 10=(9k+1)\times 10$
$\phantom{10^n-1=9k} \Longleftrightarrow 10^{n+1}=90k+10$
Il existe donc un entier $k$ tel que $10^{n+1}=90k+10$.

Pour tout entier naturel $n\geq 1$, on note la propriété $P_n$: $10^n-1$ divisible par 9.
-Initialisation:
On a vu à la question 1 que la propriété est vraie au rang 1.
-Hérédité:
On suppose qu'il existe un entier naturel non nul tel que $P_n$ vraie.
Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $10^{n+1}=90k+10$ (question 2)
donc $10^{n+1}-1=90k+10-1=90k+9=9(10k+1)$
si on pose $k'=10k+1$ alors il existe un entier naturel tel que $10^{n+1}-1=9k'$
donc $10^{n+1}$ est divisible par 9 et $P_{n+1}$ est donc vraie.
- Conclusion
On a donc montré par récurrence que la propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $10^{n+1}-1$ divisible par 9.