$ln$ est définie sur $]0;+\infty [$ et $x-1=0\Longleftrightarrow x=1$
donc $D=]0:1[\cup ]1;+\infty[$
On pose $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=x-1$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $D$
donc $f=\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $D$.
$u'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $v'(x)=1$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-ln(x)\times 1}{(x-1 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{1-ln(x)}{(x-1 )^2}$
$f'(x)=\dfrac{1-ln(x)}{(x-1 )^2}$

$ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ et la fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$
donc $f$ est définie sur $D=]0;+\infty[$.
On pose $u(x)=\sqrt{x}$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=u(x)\times v(x)$.
$u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f=uv$ est dérivable sur $D'=]0;+\infty[$
$u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}ln(x)+\sqrt{x}\times \dfrac{1}{x}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{ln(x)}{2\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
$f'(x)=\dfrac{ln(x)}{2\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
Remarque
En réduisant au même dénominateur on a:
$f'(x)=\dfrac{ln(x)}{2\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
$~~~~~~=\dfrac{ln(x)\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}}{2x}$
$~~~~~~=\dfrac{ln(x)\sqrt{x}+2\sqrt{x}}{2x}$
$~~~~~~=\dfrac{\sqrt{x}(ln(x)+2)}{2x}$