MATHS-LYCEERésoudre les inéquations suivantes en précisant l'ensemble de résolution.
- $ln(3x+6)+ln(2)>1$
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$$ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $3x+6 > 0$
On a ln(e)=1$La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $3x+6 > 0$ soit $x >-2$.
On résout donc cette inéquation sur $]-2;+\infty[$
$ln(3x+6)+ln(2)>1 \Longleftrightarrow ln(2(3x+6)) > ln(e)$
$\phantom{ln(3x+6)+ln(2)>1} \Longleftrightarrow 2(3x+6)>e$
$\phantom{ln(3x+6)+ln(2)>1} \Longleftrightarrow 6x+12>e$
$\phantom{ln(3x+6)+ln(2)>1} \Longleftrightarrow 6x> e-12$
$\phantom{ln(3x+6)+ln(2)>1} \Longleftrightarrow x> \dfrac{e-12}{6}$
$\dfrac{e-12}{6}\approx -1,5$
- $ln(4-x)+ln(x+1)>ln(4 )$
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$$ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $4-x> 0$ et $x+1 >0$
Il faut se ramener à une inégalité de la forme $ln(A)> ln(B)$ avec $A>0$ et $B>0$$ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $4-x > 0$ soit $x+1 >0$
$\begin{cases} 4-x >0\\ x+1>0 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 4>x \\ x> -1 \end{cases}$
On résout sur $]-1;4[$.
$ln(4-x)+ln(x+1)>ln(4 ) \Longleftrightarrow ln((4-x)(x+1))> ln(4)$
$\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow (4-x)(x+1)>4$
$\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow -x^2+3x+4 >4$
$\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow -x^2+3x>0$
$\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow x(-x+3)>0$
Les racines de $-x^2+3x$ sont donc $x_1=0$ et $x_2=3$.
$x\in ]-1;4[$
Attention les fonctions ci-dessous sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
Cours nº 1208
Vous pouvez retourner sur le cours après avoir vu cette vidéo.
Cours partie 3: équations et inéquations avec ln et exp
- résolution d'équations et d'inéquations avec logarithme
- résolution d'équations et d'inéquations avec exponentielle
infos cours
| 15mn
série 9 : Équations et inéquations
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Calculs de dérivées
- dérivée de ln et utlisation de la dérivée d'un produit ou quotient
- dérivée de la composée avec ln
infos: | 20mn |
exercices semblables
Si vous souhaitez vous emtraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.