MATHS-LYCEEDans chaque cas, donner le conjugué de $z$ puis écrire $\overline{z}$ sous forme algébrique.
- $z=\dfrac{2-3i}{2+i}$
conjugué d'une somme, d'un produit ou d'un quotient
soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes.
$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
$\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$
Si $z'\neq 0$, on a $\overline{\left(\dfrac{1}{z'}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z'}}$
et $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$Il faut déterminer le conjugué de $2-3i$ et de $2+i$ puis déterminer la forme algébrique$z=\dfrac{2-3i}{2+i}$
Le conjugué d'un quotient est le quotient des conjugués
donc $\overline{z}=\overline{\dfrac{2-3i}{2+i}}=\dfrac{\overline{2-3i}}{\overline{2+i}}=\dfrac{2+3i}{2-i}$
$\overline{z}=\dfrac{2+3i}{2-i}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{(2+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{4+6i+2i+3i^2}{4+1}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{4+6i+2i+3i^2}{4+1}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{4+8i-3}{5}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{1+8i}{5}$
- $z=\dfrac{i}{1+i}$
Il faut déterminer le conjugué de $i$ et de $1+i$ puis déterminer la forme algébrique$z=\dfrac{i}{1+i}$
Le conjugué d'un quotient est le quotient des conjugués
donc $\overline{z}=\overline{\dfrac{i}{1+i}}=\dfrac{\overline{i}}{\overline{1+i}}=\dfrac{-i}{1-i}$
$\overline{z}=\dfrac{-i}{1-i}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{-i\times (1+i)}{(1-i)(1+i)}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{-i-i^2}{1+1}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{-i-(-1)}{2}$
$\phantom{\overline{z}}=\dfrac{-i+1}{2}$
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Cours nº 1476
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Cours séquence 1
- forme algébrique des complexes et nombre i
- conjugué
- calculs avec les complexes
infos cours
| 20-25mn
série 2 :
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