MATHS-LYCEEOn donne les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respective $z_A=2+i$, $z_B=5-i$ et $z_C=4+4i$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
- Calculer l'affixe des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Affixe d'un point et d'un vecteur
Le complexe $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) est l'affixe du point $M(x;y)$. l Avec $\overrightarrow{u}(a;b)$, le complexe $u=a+ib$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$.$z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=5-i-(2+i)=5-i-2-i=3-2i$
$z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=4+4i-(2+i)=4+4i-2-i=2+3i$
- Ecrire le complexe $\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}$ sous forme algébrique.
Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du complexe $z_C-z_A$.$\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=\dfrac{3-2i}{2+3i}$
$\phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=\dfrac{(3-2i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}$
$\phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=\dfrac{6-9i-4i+6i^2}{2^2+3^2}$
$\phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=\dfrac{6-13i-6}{13}$
$\phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=\dfrac{-13i}{13}$
$\phantom{\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=-i$
- Calculer $AB$ et $AC$ et en déduire la nature du triangle $ABC$.
Distances et modules
Soient $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
$AB=|z_B-z_A|$Angles et argument d'un quotient
Soient $A$ , $B$ et $C$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)$Il faut calculer le module de $z_{\overrightarrow{AB}}$ et $z_{\overrightarrow{AC}}$ puis l'argument de $-i$$AB=|z_{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$
$AC=|z_{\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
donc $ABC$ est isocèle en $A$.
$arg(-i)=\dfrac{-\pi}{2}$ ($2\pi$)
donc $(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB})=arg\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right)=-\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$)
donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux
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Cours nº 1478
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Affixe - forme trigonométrique
- affixe d'un point et d'un vecteur
- complexes et géométrie
- forme trigoométrique
infos cours
| 20-25mn
série 4 : Complexes et géométrie
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