ex nº1453 - Affixe d'un vecteur et du milieu

---

On donne les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixe respective $z_A=3+2i$, $z_B=1-i$, $z_C=2+2i$ et $z_D=-i$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.

1. Calculer l'affixe des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$.

   Rappel de cours

   Affixe d'un point et d'un vecteur

   ---

   Le complexe $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) est l'affixe du point $M(x;y)$. l Avec $\overrightarrow{u}(a;b)$, le complexe $u=a+ib$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$.

   Solution

   $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=1-i-(3+2i)=-2-3i$
   $z_{\overrightarrow{CD}}=z_D-z_C=-i-(2+2i)=-2-3i$
   
2. En déduire la nature du quadrilatère $ABDC$.

   Aide

   
   es affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont des affixes égales

   Solution

   $z_{\overrightarrow{AB}}= z_{\overrightarrow{CD}}$
   donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
   donc $ABDC$ est un parallélogramme.
3. Calculer l'affixe du milieu $I$ de $[AD]$ puis du milieu $J$ de $[CD]$ et retrouver le résultat de la question 2.

   Rappel de cours

   Affixe du milieu

   ---

   Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes $z_A$ et $z_B$.
   $I$ milieu de $[AB]$ a pour affixe $\dfrac{z_A+z_B}{2}$

   Solution

   $z_I=\dfrac{z_A-z_D}{2}=\dfrac{3+2i-i}{2}=\dfrac{3+i}{2}$
   $z_J=\dfrac{z_B-z_C}{2}=\dfrac{1-i+2+2i}{2}=\dfrac{3+i}{2}$
   $z_I=z_J$ donc les diagonales $[AD]$ et $[BC]$ se coupent en leurs milieux
   donc $ABDC$ est un parallélogramme.