1. Home
  2. chapitre 10 Maths expertes complexes
  3. exercice corrigé nº1454
PDF reservé aux abonnés
On donne les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respective $z_A=3+2i$, $z_B=1-2i$ et $z_C=-1+4i$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
  1. Donner la forme algébrique de $Z=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.

    Rappel de cours

    Suppression des complexes au dénominateur

    Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
    En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
    soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
    Exemple:
    $z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$

    Aide

    il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par $-4-2i$

    Solution

    $Z=z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=1-2i-(3+2i)=-2-4i$
    $z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=-1+4i-(3+2i)=-4+2i$
    $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{-4+2i}{-2-4i}$
    $\phantom{\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}}=\dfrac{(-4+2i)(-2+4i)}{(-2-4i)(-2+4i)}$
    $\phantom{\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}}=\dfrac{8-16i-4i+8i^2}{(-2)^2+4^2}$
    $\phantom{\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}}=\dfrac{-20i}{20}$
    $\phantom{\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}}=-i$
  2. En déduire que $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

    Rappel de cours

    Angles et argument d'un quotient

    Soient $A$ , $B$ et $C$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.
    $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)$

    Solution

    $Z$ est imaginaire pur et sont argument est $\dfrac{-\pi}{2}$ (car la partie imaginaire est négative)
    donc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg(Z)=\dfrac{-\pi}{2}$ ($2\pi$)

Attention les fonctions ci-dessous sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
valider cet exercice
marquer cet exercice à revoir

Cours nº 1478


Vous pouvez retourner sur le cours après avoir vu cette vidéo.

Affixe - forme trigonométrique

- affixe d'un point et d'un vecteur
- complexes et géométrie
- forme trigoométrique

infos cours

| 20-25mn
série 4 : Complexes et géométrie

retour sur le cours

Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Affixe d'un vecteur

- affixe d'un vecteur
- module - interprétation géométrique de l'argument d'un quotient

infos: | 15-20mn |

PDF reservé aux abonnés

vidéos semblables


Pour compléter cet exercice, nous vous conseillons les vidéos suivantes semblables à l'exercice affiché.
Argument d'un quotient
| 4mnmn |

exercices semblables


Si vous souhaitez vous emtraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.
Affixe d'un vecteur et du milieu
| 5-8mn |
nature d'un triangle
| 6-10mn |