ex nº294 - Petit problème avec des fonctions affines

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Une société vend des forfaits pour téléphones portables et deux formules sont proposées:
- Formule A: un forfait de 15 euros par mois et 11 centimes d'euro par minute d'appel
- Formule B: un forfait de 20 euros par mois et 1 centime d'euro par minute d'appel
On note $x$ le nombre de minutes de communication dans le mois, $f(x)$ le coût total des communications (forfait+appels) par mois avec la formule A et $g(x)$ le coût total avec la formule B.

1. Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.

   Aide

   On paye $x\times 0,11$ euros pour les communications avec la formule A plus le forfait

   Solution

   Avec la formule A, pour $x$mn, on va payer pour les communications $0,11x$ euros et il faut ajouter le forfait de 15 euros
   donc $f(x)=0,11x+15$
   De même, avec la formule B, pour $x$mn, on va payer pour les communications $0,01x$ euros et il faut ajouter le forfait de 20 euros
   donc $g(x)=0,01x+20$}
2. Quelle est la nature des fonctions $f$ et $g$?
   Représenter ces deux fonctions dans le repère ci-dessous.
   

   Aide

   Les fonctions sont de la forme $ax+b$...
   On peut calculer les images de $0$ et de $100$ par exemple

   Solution

   $f$ et $g$ sont de la forme $ax+b$
   donc $f$ et $g$ sont deux fonctions affines.
   $f(0)=15$ et $f(100)=0,11\times 100+15=26$
   $g(0)=20$ et $g(100)=0,01\times 100+20=21$
   
3. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$ et contrôler sur le graphique.

   Solution

   $f(x)=g(x) \Longleftrightarrow 0,11x+15=0,01x+20$
   $\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow 0,11x-0,01x=20-15$
   $\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow 0,10x=5$
   $\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{0,1}$
   $\phantom{f(x)=g(x)} \Longleftrightarrow x=50$
   $f(x)=g(x)$ pour $x=50$.
   Graphiquement,la solution de l'équation $f(x)=g(x)$ est l'abscisse du point d'intersection des deux courbes.
4. En déduire quelle formule est la plus avantageuse en fonction du nombre $x$ de minutes d'appels.

   Aide

   On veut déterminer pour quelles valeurs de $x$ on a $C_f$ en-dessous de $C_g$

   Solution

   Graphiquement la droite $C_f$ est en-dessous de la droite $C_g$ pour $x\in [0;50]$
   donc si on appelle moins de 50mn, on va choisir la formule A et sinon la formule B.