MATHS-LYCEEDans le plan muni d'un repère orthonormé,on a les points $A(2;1)$ et $B(1;5)$ et le vecteur $\overrightarrow{u}(2;-3)$
- Déterminer une équation de la droite (d) passant par A et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$
Déterminer une équation cartésienne
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
Méthode 1
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
- $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$
Méthode 2
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
- $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)$\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de la droite (d)
$M(x;y)\in$(d) si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéairesSoit $M(x;y)$ un point de la droite (d).
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-2 \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-1 \end{cases}$
$\overrightarrow{AM}(x-2;y-1)$
$M\in$(d)
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{AM}}- y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
$\Longleftrightarrow 2(y-1)-(-3)(x-2)=0$
$\Longleftrightarrow 2y-2+3x-6=0$
$\Longleftrightarrow -3x+2y-8=0$
- Tracer les droites (d), (AB) et (d') dans un même repère.
sachant que $2x-3y-1=0$ est une équation de (d')Pour tracer (d'), on peut calculer les coordonnées de deux points de (d')Pour tracer (d'), on peut calculer les coordonnées de deux points de (d'):
Si $x=-1$, on a $-2-3y-1=0 \Longleftrightarrow -3y=3 \Longleftrightarrow y=-1$
Si $x=2$, on a $4-3y-1=0 \Longleftrightarrow -3y=-3 \Longleftrightarrow y=1$
- Que peut-on dire de ces trois droites?
$A\in (AB)$ et $A \in$(d)
Pour la droite (d'), on a:
$2x_A-3y_A-1=4-3-1=0$
donc $A \in$(d')
donc les droites (d), (AB), et (d') passent toutes par le point A
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Cours nº 438
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Équation cartésienne-vecteur directeur d'une droite
- vecteur directeur d'une droite
- équation cartésienne de droite
- déterminer une équation cartésienne
- équation cartésienne d'une parallèle
infos cours
| 20-30mn
série 6 : Vecteur directeur d'une droite et équations cartésiennes
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Équations cartésiennes
- tracer une droite définie par son équation cartésienne
- déterminer une équation cartésienne
- déterminer si deux droites sont parallèles
- déterminer une équation cartésienne d'une parallèle
infos: | 20-25mn |
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