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  2. chapitre 1 Second degré
  3. exercice corrigé nº594
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On donne la fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $a\neq 0$.
  1. La forme canonique de $P$ est $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
    Développer $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$. et retrouver l'expression de $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $a$. $b$ et $c$.

    Rappel de cours

    Identités remarquables

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

    Aide

    On peut identifier les coeffecients

    Solution

    $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
    $~~~~~=a(x^2-2x\alpha+\alpha^2)+\beta$
    $~~~~~=ax^2-2a\alpha x+a\alpha^2+\beta$
    On a $P(x)=ax^2+bx+c$ pour tout réel $x$
    donc $-2a\alpha=b$ (coefficient de $x$)
    donc $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ (rappel $a\neq 0$)
    et $a\alpha^2+\beta=c$ donc $\beta=c-a\alpha^2=c-a\left(\dfrac{-b}{2a}\right)^2=c-a\times \dfrac{b^2}{4a^2}$
    soit $\beta=c-\dfrac{b^2}{4a}$
  2. Soient $u$ et $v$ deux réels distincts, montrer que $P(v)-P(u)=a(v-u)(v+u-2\alpha)$.

    Aide

    $P(u)=a(u-\alpha)^2+\beta$
    On pourra utiliser la troisième identité remarquable pour factoriser

    Solution

    $P(v)-P(u)=a(v-\alpha)^2+\beta-\left[a(v- \alpha)^2+\beta\right]$
    $\phantom{P(v)-P(u)}=a(v-\alpha)^2+\beta-a(u- \alpha)^2-\beta$
    $\phantom{P(v)-P(u)}=a(v-\alpha)^2 -a(u-\alpha )^2$
    $\phantom{P(v)-P(u)}=a\left[(v-\alpha)^2 -(u-\alpha )^2\right]$
    $\phantom{P(v)-P(u)}=a\left[(v-\alpha+u-\alpha )(v-\alpha-u+\alpha )\right]$ (troisième identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$)
    $\phantom{P(v)-P(u)}=a\left[(v-u-2\alpha )(v-u)\right]$
  3. En déduire que si $a>0$ et $v>u\geq \alpha$ alors $P(v)-P(u)>0$ et déterminer alors le sens de variation de $P$ pour $x\in [\alpha ;+\infty[$.
    Quel est le sens de variation de $P$ sur $[\alpha;+\infty[$ si on a $a<0$?

    Rappel de cours

    Fonction croissante

    $f$ est croissante sur I si pour tous réels $a$ et $b$ de I tels que $a \leq b$ on a $f(a) \leq f(b)$ (l'ordre des images est conservé)

    Aide

    $P(v)-P(u)=a(v-u-2\alpha )(v-u)$

    Solution

    Si $v>u$ on a $v-u>0$
    et si $v>u\geq \alpha$ alors $u+v>2\alpha$ donc $ v+u-2\alpha>0$
    Si de plus $a>0$ alors on a un produit de trois facteurs positifs donc $P(v)-P(u)>0$
    soit $P(v)>P(u)$

    Si $a<0$ alors cette fois $P(v)-P(u)<0$
    donc $P(v)-P(u)<0$ soit $P(v)
  4. Déterminer de même le sens de variation de $P$ sur $]-\infty;\alpha]$.

    Aide

    On a cette fois $u

    Solution

    Soient $u$ et $v$ tels que $u Si $v>u$ on a $v-u>0$
    et si $u Si de plus $a>0$ alors on a un produit de deux facteurs positifs et un négatif donc $P(v)-P(u)<0$
    soit $P(v)
    Si $a<0$ alors cette fois $P(v)-P(u)>0$
    donc $P(v)-P(u)>0$ soit $P(v)>P(u)$

    Récapitulatif:
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Cours nº 591


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Forme canonique, variations et équations

- forme canonique et sommet de la parabole
- variations de $P(x)=ax^2+bx+c$
- discriminant et racines

infos cours

| 10-15mn
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