MATHS-LYCEEDéterminer si elles existent, les racines des polynômes de degré 2 sans calculer le discriminant ($\Delta$)
- $P(x)=x^2-4x+3$
Somme et produit des racines
Si le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$ alors on a:
$ x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$ (somme des racines)
et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ (produit des racines)Rechercher une racine possible sans calculer $\Delta$ (essayer des nombres entiers par exemple: -2, -1 , 1, 2....
Utiliser alors le produit ou la somme des racines pour déterminer la seconde racine de $P(x)$On a $a=1$, $b=-4$ et $c=3$
et la somme des coefficients de $P(x)$ est égale à 0.
donc $P(1)=a+b+c=1-4+3=0$
donc $x_1=1$ est une racine de $P(x)$
Si on note $x_2$ la seconde racine de $P(x)$, on a alors:
$x_1\times x_2=1\times x_2=\dfrac{c}{a}=3$ donc $x_2=3$
- $P(x)=3x^2+8$
On se trouve dans le cas particulier où le coefficient de $x$ est égal à 0: $b=0$
On peut déterminer les racines sans calculer $\Delta$
Il faut alors résoudre l'équation $P(x)=3x^2+8=0$ en "isolant" $x^2$$P(x)=3x^2+8=0 \Longleftrightarrow 3x^2=-8$
$\phantom{P(x)=3x^2+8} \Longleftrightarrow x^2=\dfrac{-8}{3}$
$x^2\geq 0$ donc cette équation n'admet aucune solution.
- $P(x)=-2x^2+8x$
On se trouve dans le cas particulier où le coefficient de $c$ est égal à 0.
On peut déterminer les racines sans calculer $\Delta$
Il faut alors résoudre l'équation $P(x)=-2x^2+8x=0$ en factorisant$-2x^2+8x=0 \Longleftrightarrow x(-2x+8)=0$
$\phantom{-2x^2+8x=0} \Longleftrightarrow x=0$ ou $-2x+8=0$
$\phantom{-2x^2+8x=0} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=4$
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Cours nº 660
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Discriminant et racines
- discriminant
- racines d'un polynôme du second degré
- somme et produit des racines
- cas où le calcul du discriminant est inutile
infos cours
| 15-20mn
série 6 : Racines et discriminant
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Cas particuliers où le discriminant n'est pas utile
- cas où $b=0$
- cas où $c=0$
- utilisation du produit des racines
infos: | 6-8mn |