MATHS-LYCEEOn dispose de deux résistances électriques $R_1$ et $R_2$.
Lorsque ces deux résistances sont montées en parallèle, la résistance équivalente est de 30 $\Omega$ et lors d'un montage en série, la résistance équivalente est de 135 $\Omega$.
On rappelle que pour un montage en parallèle la résistance équivalente est telle que $\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$ et que pour un montage en série elle est de $R=R_1+R_2$.
Déterminer les valeurs des résistances $R_1$ et $R_2$.
Écrire un système de deux équations à deux inconnues $R_1$ et $R_2$
Se ramener à une équation d'inconnue $R_1$ ou bien $R_2$
Se ramener à une équation d'inconnue $R_1$ ou bien $R_2$
Lorsque ces deux résistances sont montées en parallèle, la résistance équivalente est de 30 $\Omega$ donc $\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$
Lorsque ces deux résistances sont montées en série, la résistance équivalente est de 135 $\Omega$ donc $R=135=R_1+R_2$
Il faut résoudre le système:
$\phantom{\Longleftrightarrow} \begin{cases} R_1+R_2=135\\ \dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}=\dfrac{1}{30} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_1+R_2=135\\ \dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}=\dfrac{1}{30} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_1+R_2=135\\ \dfrac{R_2}{R_1R_2}+\dfrac{R_1}{R_1R_2}=\dfrac{1}{30}\text{ on multiplie les deux membres par }R_1R_2 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_1+R_2=135\\ R_2+R_1=\dfrac{R_1R_2}{30} \text{ on multiplie les deux membres par }30 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_2=135-R_1\\ 30R_2+30R_1=R_1R_2 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_2=135-R_1\\ 30(135-R_1)+30R_1=R_1(135-R_1) \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_2=135-R_1\\ 30(135-R_1)+30R_1=R_1(135-R_1) \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_2=135-R_1\\ 4050-30R_1+30R_1=135R_1-R_1^2 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_2=135-R_1\\ R_1^2-135R_1+4050=0 \end{cases}$
Recherche des solutions de $R_1^2-135R_1+4050=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-135)^2-4\times (1)\times 4050=2025=45^2$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$R_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{135-45}{2}=\dfrac{90}{2}=45$
et
$R_1'=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{135+45}{2}=\dfrac{180}{2}=90$
Si $R_1=45~~\Omega$ alors $R_2=135-45=90~~\Omega$
Si $R_1'=90~~\Omega$ alors $R_2'=135-90=45~~\Omega$, ce qui revient exactement au même.
Penser à contrôler le résultat:
$\dfrac{1}{90}+\dfrac{1}{45}=\dfrac{3}{90}=\dfrac{1}{30}$ et $45+90=135$
Lorsque ces deux résistances sont montées en série, la résistance équivalente est de 135 $\Omega$ donc $R=135=R_1+R_2$
Il faut résoudre le système:
$\phantom{\Longleftrightarrow} \begin{cases} R_1+R_2=135\\ \dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}=\dfrac{1}{30} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_1+R_2=135\\ \dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}=\dfrac{1}{30} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_1+R_2=135\\ \dfrac{R_2}{R_1R_2}+\dfrac{R_1}{R_1R_2}=\dfrac{1}{30}\text{ on multiplie les deux membres par }R_1R_2 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_1+R_2=135\\ R_2+R_1=\dfrac{R_1R_2}{30} \text{ on multiplie les deux membres par }30 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_2=135-R_1\\ 30R_2+30R_1=R_1R_2 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_2=135-R_1\\ 30(135-R_1)+30R_1=R_1(135-R_1) \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_2=135-R_1\\ 30(135-R_1)+30R_1=R_1(135-R_1) \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_2=135-R_1\\ 4050-30R_1+30R_1=135R_1-R_1^2 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} R_2=135-R_1\\ R_1^2-135R_1+4050=0 \end{cases}$
Recherche des solutions de $R_1^2-135R_1+4050=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-135)^2-4\times (1)\times 4050=2025=45^2$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$R_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{135-45}{2}=\dfrac{90}{2}=45$
et
$R_1'=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{135+45}{2}=\dfrac{180}{2}=90$
Si $R_1=45~~\Omega$ alors $R_2=135-45=90~~\Omega$
Si $R_1'=90~~\Omega$ alors $R_2'=135-90=45~~\Omega$, ce qui revient exactement au même.
Penser à contrôler le résultat:
$\dfrac{1}{90}+\dfrac{1}{45}=\dfrac{3}{90}=\dfrac{1}{30}$ et $45+90=135$
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Cours nº 660
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Discriminant et racines
- discriminant
- racines d'un polynôme du second degré
- somme et produit des racines
- cas où le calcul du discriminant est inutile
infos cours
| 15-20mn
série 6 : Synthèse et problèmes de recherhe
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