MATHS-LYCEEDéterminer l'expression de la fonction polynôme $f$ du second degré avec les informations données dans chaque cas.
On note $\mathcal{P}$ sa représentation graphique.
- $\mathcal{P}$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-2$ et $3$ et l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 4
Forme factorisée
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$
alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet une racine $x_1$
alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)^2$
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) n'admet aucune racine
alors la forme factorisée de $P$ n'existe pasOn peut chercher $f(x)$ sous forme factorisée puisque l'on connait les racines de $f$
Pour déterminer le coefficient $a$ de $x^2$, on peut utiliser le point d'intersection avec l'axe des ordonnées et on a alors $f(0)=4$La parabole $\mathcal{P}$ coupe l'axe des abscisses en $x_1=-2$ et $x_2=3$
donc $x_1=-2$ et $x_2=3$ sont deux racines de $f(x)$
On peut donc écrire $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x-(-2))(x-3)=a(x+2)(x-3)$
La parabole $\mathcal{P}$ coupe l'axe des ordonnées et donc passe par le point de coordonnées $(0;4)$
On a donc $f(0)=a(0+2)(0-3)=4$
$ a(0+2)(0-3)=4 \Longleftrightarrow -6a=4 \Longleftrightarrow a=\dfrac{4}{-6}=\dfrac{-2}{3}$
Penser à contrôler le résultat avec le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction $f$ trouvée dans Y1 puis en vérifiant que l'image de $-2$ est 0, que l'image de 3 est 0 et que l'image de 0 est 4 dans le tableau de valeurs - $\mathcal{P}$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $\dfrac{1}{2}$ et $-2$ et passe par le point de coordonnées $(4;7)$.
On peut chercher $f(x)$ sous forme factorisée puisque l'on connait les racines de $f$
Pour déterminer le coefficient $a$ de $x^2$, on peut utiliser le point de coordonnées $(4;7)$ et on a alors $f(4)=7$La parabole $\mathcal{P}$ coupe l'axe des abscisses en $x_1=\dfrac{1}{2}$ et $x_2=-2$
donc $x_1=\dfrac{1}{2}$ et $x_2=-2$ sont deux racines de $f(x)$
On peut donc écrire $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x-(-2)\right)=a\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x+2\right)$
La parabole $\mathcal{P}$ passe par le point de coordonnées $(4;7)$
On a donc $f(4)=a\left( 4-\dfrac{1}{2}\right)\left(4+2\right)=7$
$a\left( 4-\dfrac{1}{2}\right)\left(4+2\right)=7 \Longleftrightarrow a\times \dfrac{7}{2}\times 6=7$
$\phantom{a\left( 4-\dfrac{1}{2}\right)\left(4+2\right)=7} \Longleftrightarrow 21a=7$
$\phantom{a \left( 4-\dfrac{1}{2}\right)\left(4+2\right)=7} \Longleftrightarrow a=\dfrac{7}{21}$
$\phantom{a \left( 4-\dfrac{1}{2}\right)\left(4+2\right)=7} \Longleftrightarrow a=\dfrac{1}{3}$
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Cours nº 660
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Discriminant et racines
- discriminant
- racines d'un polynôme du second degré
- somme et produit des racines
- cas où le calcul du discriminant est inutile
infos cours
| 15-20mn
série 6 : Équations du second degré
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Rechercher l'expression de $f$
- connaissant le sommet
- connaissant les racines
- à partir de trois points
infos: | 8-12mn |
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