On pose $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}$ (si le chapitre dérivation a été traité)
On a alors $u_n=f(n)=\dfrac{n+1}{n+2}$ et $f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.
$f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ (quotient de fonctions dérivables).
On pose $u(x)=x+1 $ et $v(x)=x+2 $
et on a $u'(x)= 1 $ et $v'(x)= 1 $
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

$\phantom{f'(x)}=\dfrac{x+2-(x+1)}{( x+2 )^2}$

$\phantom{f'(x)}=\dfrac{x+2-x-1}{( x+2 )^2}$

$\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{( x+2 )^2}$

$(x+2)^2 > 0$ donc $f'(x) >0$

donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$

donc $(u_n)$ est strictement croissante.
Remarque
En étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$, on a:
$u_{n+1}=\dfrac{(n+1)+1}{(n+1)+2}=\dfrac{n+2}{n+3}$

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+2}{n+3}-\dfrac{n+1}{n+2}$

$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{(n+2)(n+2)}{(n+2)(n+3)}-\dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n^2+4n+4}{(n+2)(n+3)}-\dfrac{n^2+n+3n+3}{(n+3)(n+2)}$

$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n^2+4n+4-n^2-n-3n-3}{(n+3)(n+2)}$

$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{(n+3)(n+2)}$

$n\geq 0$ donc $n+3 >0$ et $n+2 >0$ donc $u_{n+1}-u_n >0$
et donc $(u_n)$ est strictement croissante.

$u_{n+1}-u_n=u_n^2-3u_n+6-u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=u_n^2-4u_n+6$
Il faut étudier le signe de $x^2-4x+6$ $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 1\times 6=16-24=-8$
$\Delta < 0$ donc il n'y a pas de racines
et $x^2-4x+6$ est du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$
donc $x^2-4x+6 >0 $ pour tout réel $x$
donc $u_{n+1}-u_n > 0$
donc $(u_n)$ est strictement croissante.

On pose $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{1}{x+1}$
On a alors $u_n=f(n)=n-\dfrac{1}{n+1}$ et $f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.
On pose $v(x)=x+1$ et on a $v'(x)=1$

$f'(x)=1-\dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}$

$\phantom{f'(x)}=1-\dfrac{-1}{(x+1)^2}$

$\phantom{f'(x)}=1+\dfrac{1}{(x+1)^2}$

$(x+1)^2 > 0$ donc $\dfrac{1}{(x+1)^2} > 0$

donc $f'(x) >0$ et $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$

donc $(u_n)$ est strictement croissante.