Calcul du taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$:
$f(1)=1^2+1=2$
$f(1+h)=(1+h)^2+1=1+2h+h^2+1=h^2+2h+2$
$T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
$\phantom{T_{h}}=\dfrac{h^2+2h+2-2}{1+h-1}$
$\phantom{T_{h}}=\dfrac{h^2+2h}{h}$
$\phantom{T_{h}}=\dfrac{h(h+2)}{h}$
$\phantom{T_{h}}=h+2$
Le taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ est $T_h=h+2$.

Quand $h \longrightarrow 0$ on a $T_{h} \longrightarrow 2$
Avec la notation des limites:
$\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=2$
se lit quand $h$ "se rapproche de plus en plus" de 0, $T_h$ "se rapproche de plus en plus" de 2
$f$ est dérivable en $a=1$ et $f'(1)=2$
Graphiquement, $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
Avec la calculatrice, dans SET UP, mettre DERIVATIVE sur ON.
Contrôle avec la calculatrice CASIO
Utiliser le menu TABLE, saisir la fonction $f$ dans Y1 puis afficher le tableau de valeurs de $f$ et de $f'$.\textit{(voir aussi fiche méthode CALCULATRICE: tableau de valeurs de la dérivée)}

On obtient effectivement le résultat $f'(1)=2$

Calcul du taux d'accroissement de $f$ entre 2 et $2+h$ pour tout réel $h\neq 0$:
$f(2)=2^2+1=5$
$f(2+h)=(2+h)^2+1=4+4h+h^2+h^2+1=h^2+4h+5$

$T_{h}=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$
$\phantom{T_{h}}=\dfrac{h^2+4h+5-5}{2+h-2}$
$\phantom{T_{h}}=\dfrac{h^2+4h}{h}$
$\phantom{T_{h}}=\dfrac{h(h+4)}{h}$
$\phantom{T_{h}}=h+4$
Quand $h \longrightarrow 0$ on a $T_{h} \longrightarrow 4$
Avec la notation des limites:
$\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=4$
se lit quand $h$ "se rapproche de plus en plus" de 0, $T_h$ "se rapproche de plus en plus" de 4
$f$ est dérivable en $a=2$ et $f'(2)=4$