ex nº763 - Lecture graphique du nombre dérivé

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et on donne ci-dessous sa représentation graphique $C_f$.
Les droites $T$ et $T'$ sont les tangentes à la courbe $C_f$ aux points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $2$ et $3$.

1. Déterminer $f(2)$ .

   Aide

   Il faut déterminer l'ordonnée du point $A$ puisque $A$ appartient à la courbe $C_f$ et a pour abscisse 2.

   Solution

   Le point $A$ appartient à la courbe $C_f$ et $A(2;-3)$
   donc $f(2)=-3$
2. Déterminer $f'(2)$ .

   Rappel de cours

   Équation de la tangente au point d'abscisse $a$

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   $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
   La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
   et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

   Aide

   Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$

   Solution

   Graphiquement, $f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse 2
   $T$ est parallèle à l'axe des abscisses donc sont coefficient directeur est 0
   donc $f'(2)=0$
3. Déterminer $f'(3)$ .

   Aide

   Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente $T~'$

   Solution

   Graphiquement, $f'(3)$ est le coefficient directeur de la tangente $T~'$ à la courbe $C_f$ au point $B$ d'abscisse 3
   
   donc $f~'(3)=\dfrac{\text{variations des ordonnées}}{\text{variations des abscisses}}=\dfrac{-9}{-1}=9$
   donc $f'(3)=9$