MATHS-LYCEELa fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}^* $ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$
- Pour tout réel $x>0$ et tout réel $h$ tel que $x+h>0$, le taux d'accroissement entre $x$ et $x+h$ est $T_h=\dfrac{-1}{x(x+h)}$
Taux d'accroissement d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à $D_f$.
Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si on pose $b=a+h$, $h$ réel ( $a+h\in D_f$ et $h\neq 0$ puisque $b\neq a$), on a alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.$\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x(x+h)}-\dfrac{x+h}{x(x+h)}$$T_h=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$
$~~~=\dfrac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}$
$~~~=\dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)}-\dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h}$
$~~~=\dfrac{\dfrac{x-x-h}{x(x+h)}}{h}$
$~~~=\dfrac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}$
$~~~=\dfrac{-h}{x(x+h)}\times \dfrac{1}{h}$
$~~~=\dfrac{-1}{x(x+h)}$
- En déduire $f$ est dérivable pour tout réel $x>0$ et donner l'expression de $f'(x)$.
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
$k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)
On a $h\longrightarrow 0$Lorsque $h \longrightarrow 0$ on a $x+h\longrightarrow x$
donc $x(x+h)\longrightarrow x^2$
On a $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}T_h=\dfrac{-1}{x^2}$
On montre de même que $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[$ en prenant $x<0$ et $h$ réel tel que $x+h<0$
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Cours nº 755
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Nombre dérivé et tangente à une courbe
- taux d'accroissement
- nombre dérivé
- interprétation géométrique et tangente
- équation d'une tangente
infos cours
| 20-25mn
série 3 : Démontrations de cours
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